ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos t > \frac{1}{2}$;

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\cos t < \frac{1}{2}$

Решить неравенство:

а) $\cos t > \frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{4};$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$$

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $\cos t < \frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

а) $\cos t > \frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Для того чтобы решить неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$, нужно понять, при каких значениях угла $t$ косинус больше $\frac{1}{2}$.

Начнем с того, что $\cos t = \frac{1}{2}$ при углах $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Это решение получается из стандартного тригонометрического значения $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Решение неравенства

Так как мы ищем, при каких значениях $t$ $\cos t > \frac{1}{2}$, то это означает, что $t$ должен лежать между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$, так как на интервале от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ косинус принимает значения больше $\frac{1}{2}$.

На интервале $0 \leq t \leq 2\pi$ решение будет следующим:

$$-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$$

Шаг 3: Общий вид решения

Косинус $\cos t$ является периодической функцией с периодом $2\pi$, следовательно, это решение повторяется через каждый полный период $2\pi$.

Общее решение будет:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ для а):

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Для неравенства $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, найдем, при каких значениях $t$ косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из таблицы значений косинуса известно, что $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, следовательно:

$$t = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Мы ищем, при каких значениях $t$ $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть косинус меньше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

На интервале $0 \leq t \leq 2\pi$, это неравенство выполняется на интервале от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$, потому что на этом промежутке косинус принимает значения меньше или равные $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3: Общий вид решения

Общее решение для неравенства:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ для б):

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Для неравенства $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, найдем, при каких значениях $t$ косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Как и в предыдущем случае, $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Мы ищем, при каких значениях $t$ $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть косинус больше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство выполняется на интервалах, которые выходят за пределы интервала $\left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right]$ на круге. То есть, $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 3: Общий вид решения

Общее решение для неравенства:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ для в):

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

г) $\cos t < \frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Для неравенства $\cos t < \frac{1}{2}$, найдем, при каких значениях $t$ косинус равен $\frac{1}{2}$.

Косинус равен $\frac{1}{2}$ при углах:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Мы ищем, при каких значениях $t$ $\cos t < \frac{1}{2}$, то есть, когда косинус меньше $\frac{1}{2}$.

На интервале $0 \leq t \leq 2\pi$, это неравенство выполняется на интервале от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$, потому что на этом промежутке косинус принимает значения меньше $\frac{1}{2}$.

Шаг 3: Общий вид решения

Общее решение для неравенства:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ для г):

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

б) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

г) $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$