ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos t < \frac{2}{3}$;

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$;

в) $\cos t > \frac{2}{3}$;

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$

Решить неравенство:

а) $\cos t < \frac{2}{3}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = \arccos \frac{2}{3};$$ $$t_2 = -\arccos \frac{2}{3} + 2\pi;$$

Ответ:

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{1}{7};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$ $$t_2 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

в) $\cos t > \frac{2}{3}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\arccos \frac{2}{3};$$ $$t_2 = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = \arccos \frac{2}{3};$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{1}{7};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$ $$t_2 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi;$$

Ответ:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

а) $\cos t < \frac{2}{3}$

Шаг 1: Решение уравнения

Нам нужно решить неравенство $\cos t < \frac{2}{3}$. Для этого давайте сначала найдем углы, для которых $\cos t = \frac{2}{3}$.

Известно, что $\cos t = \frac{2}{3}$ для углов $t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, мы получаем уравнение:

$$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

где $\arccos \frac{2}{3}$ — это угол, косинус которого равен $\frac{2}{3}$. Мы можем просто оставить это выражение в виде $\arccos \frac{2}{3}$.

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь, чтобы решить неравенство $\cos t < \frac{2}{3}$, нужно понять, на каких интервалах косинус меньше $\frac{2}{3}$. Мы знаем, что:

$\cos t = \frac{2}{3}$ при $t = \arccos \frac{2}{3}$ и $t = 2\pi — \arccos \frac{2}{3}$.

Косинус — это периодическая функция, и мы знаем, что на интервале от $\arccos \frac{2}{3}$ до $2\pi — \arccos \frac{2}{3}$ косинус будет меньше $\frac{2}{3}$.

Таким образом, искомые значения $t$ лежат в промежутке:

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

Ответ для а):

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$

Шаг 1: Решение уравнения

Для того чтобы решить неравенство $\cos t > -\frac{1}{7}$, начнем с уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$.

Мы знаем, что $\cos t = -\frac{1}{7}$ для углов $t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, решение уравнения:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $\cos t > -\frac{1}{7}$.

Поскольку $\cos t = -\frac{1}{7}$ при углах $t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$, то искомые значения $t$ будут лежать на интервале между этими точками.

Это неравенство выполняется, когда $t$ находится между $-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ и $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$. То есть:

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

Ответ для б):

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

в) $\cos t > \frac{2}{3}$

Шаг 1: Решение уравнения

Начнем с уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$.

Мы знаем, что $\cos t = \frac{2}{3}$ для углов $t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, решение уравнения:

$$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $\cos t > \frac{2}{3}$.

Мы ищем интервал, на котором косинус больше $\frac{2}{3}$. Это будет интервал между $-\arccos \frac{2}{3}$ и $\arccos \frac{2}{3}$, так как косинус на этом интервале принимает значения больше $\frac{2}{3}$.

Решение:

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

Ответ для в):

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$$

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$

Шаг 1: Решение уравнения

Начнем с уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$.

Мы знаем, что $\cos t = -\frac{1}{7}$ для углов $t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, решение уравнения:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $\cos t < -\frac{1}{7}$.

Мы ищем, при каких значениях $t$ косинус меньше $-\frac{1}{7}$.

Это будет интервал между углами $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ и $2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$.

Решение:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

Ответ для г):

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$

б) $-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$

в) $-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$

г) $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$