ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$;

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$;

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$;

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$

Решить неравенство:

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$3y^2 — 4y — 4 \geq 0;$

Дискриминант:
$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64;$
тогда:
$y_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}, \quad y_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$

Разложение на множители:
$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 2) \geq 0;$

Решение:
$y \leq -\frac{2}{3}, \quad y \geq 2;$

Первое значение:
$\cos t \leq -\frac{2}{3};$
$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$
$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$

Второе значение:
$\cos t \geq 2;$
$t \in \varnothing;$

Ответ: $$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$6y^2 — 5y + 1 > 0;$

Дискриминант:
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1;$
тогда:
$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$

Разложение на множители:
$\left( y — \frac{1}{3} \right)\left( y — \frac{1}{2} \right) > 0;$

Решение:
$y < \frac{1}{3}, \quad y > \frac{1}{2};$

Первое значение:
$\cos t < \frac{1}{3};$
$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$
$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$

Второе значение:
$\cos t > \frac{1}{2};$
$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $$$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$3y^2 — 4y — 4 < 0;$

Дискриминант:
$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64;$
тогда:
$y_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}, \quad y_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$

Разложение на множители:
$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 2) < 0;$

Решение:
$-\frac{2}{3} < y < 2;$

Первое значение:
$\cos t > -\frac{2}{3};$
$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$
$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$

Второе значение:
$\cos t < 2;$
$x \in \mathbb{R};$

Ответ:$$$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$6y^2 — 5y + 1 \leq 0;$

Дискриминант:
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1;$
тогда:
$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$

Разложение на множители:
$\left( y — \frac{1}{3} \right)\left( y — \frac{1}{2} \right) \leq 0;$

Решение:
$\frac{1}{3} \leq y \leq \frac{1}{2};$

Первое значение:
$\cos t \geq \frac{1}{3};$
$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$
$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$

Второе значение:
$\cos t \leq \frac{1}{2};$
$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ:$$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$

Перепишем выражение через $y = \cos t$:

Пусть $y = \cos t$, тогда неравенство превращается в:

$$3y^2 — 4y \geq 4$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$3y^2 — 4y — 4 \geq 0$$

Находим дискриминант:

Для решения квадратного неравенства $3y^2 — 4y — 4 \geq 0$ нам необходимо найти дискриминант для соответствующего квадратного уравнения $3y^2 — 4y — 4 = 0$. Используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = -4$, $c = -4$. Подставим значения:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

Находим корни квадратного уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = 2$$

Разложение на множители:

Мы знаем, что квадратное неравенство $3y^2 — 4y — 4 \geq 0$ можно разложить на множители:

$$(y + \frac{2}{3})(y — 2) \geq 0$$

Решение неравенства:

Для того чтобы произведение двух множителей было больше или равно нулю, нам необходимо найти промежутки, на которых оба множителя имеют одинаковый знак (либо оба положительные, либо оба отрицательные):

• Если $y \leq -\frac{2}{3}$, то оба множителя $(y + \frac{2}{3})$ и $(y — 2)$ будут отрицательными, и произведение будет положительным.
• Если $y \geq 2$, то оба множителя будут положительными, и произведение также будет положительным.

Таким образом, решение:

$$y \leq -\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad y \geq 2$$

Решение для $\cos t$:

Теперь нужно вернуться к переменной $t$, то есть $y = \cos t$:

• $\cos t \leq -\frac{2}{3}$:

  $$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

  Изначально $\cos t$ меньше или равно $-\frac{2}{3}$, что означает, что $t$ должно быть в интервале от $\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$ до $2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$.

• $\cos t \geq 2$: Поскольку $\cos t$ всегда лежит в пределах от -1 до 1, условие $\cos t \geq 2$ невозможно. То есть это значение не имеет смысла для $\cos t$.

Ответ:

Таким образом, окончательное решение для задачи а) будет:

$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$

Преобразуем неравенство:

Пусть $y = \cos t$. Тогда неравенство станет:

$$6y^2 — 5y + 1 > 0$$

Находим дискриминант:

Дискриминант для квадратного уравнения $6y^2 — 5y + 1 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни квадратного уравнения:

Используем формулу для нахождения корней:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Разложение на множители:

Разлагаем на множители:

$$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) > 0$$

Решение неравенства:

Это произведение больше нуля, когда:

$$y < \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{2}$$

Решение для $\cos t$:

Рассмотрим каждый случай:

• $\cos t < \frac{1}{3}$:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

  Это означает, что $t$ должно лежать в интервале:

  $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

• $\cos t > \frac{1}{2}$:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

  То есть $t$ лежит в интервале:

  $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

Таким образом, решение для задачи б):

$$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$

Преобразуем неравенство:

Пусть $y = \cos t$. Тогда неравенство становится:

$$3y^2 — 4y — 4 < 0$$

Находим дискриминант:

Дискриминант для квадратного уравнения $3y^2 — 4y — 4 = 0$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

Находим корни квадратного уравнения:

Используем формулу для нахождения корней:

$$y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = 2$$

Разложение на множители:

Разлагаем неравенство:

$$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 2) < 0$$

Решение неравенства:

Это произведение меньше нуля, когда:

$$-\frac{2}{3} < y < 2$$

Решение для $\cos t$:

Рассмотрим каждый случай:

• $\cos t > -\frac{2}{3}$:

  $$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

  Это означает, что $t$ лежит в интервале:

  $$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

• $\cos t < 2$: Это условие всегда выполняется, так как $\cos t \in [-1, 1]$.

Ответ:

Таким образом, решение для задачи в):

$$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$

Преобразуем неравенство:

Пусть $y = \cos t$. Тогда неравенство становится:

$$6y^2 — 5y + 1 \leq 0$$

Находим дискриминант:

Дискриминант для квадратного уравнения $6y^2 — 5y + 1 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни квадратного уравнения:

Используем формулу для нахождения корней:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Разложение на множители:

Разлагаем неравенство:

$$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) \leq 0$$

Решение неравенства:

Это произведение меньше или равно нулю, когда:

$$\frac{1}{3} \leq y \leq \frac{1}{2}$$

Решение для $\cos t$:

Рассмотрим каждый случай:

• $\cos t \geq \frac{1}{3}$:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

  Это означает, что $t$ должно лежать в интервале:

  $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

• $\cos t \leq \frac{1}{2}$:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

  То есть $t$ лежит в интервале:

  $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

Таким образом, решение для задачи г):

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$