ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

б) $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

в) $\arccos (-1)$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})$

Вычислить значение:

а) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6}$.

в) Пусть $\operatorname{arccos}(-1) = t$, тогда:

$$\cos t = -1, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \pi$.

г) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

Нам нужно найти значение арккосинуса для различных чисел, при этом каждый результат должен лежать в интервале $[0, \pi]$. Напоминаю, что арккосинус ($\operatorname{arccos}$) — это функция, которая возвращает угол, косинус которого равен заданному числу.

а) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

Шаг 1: Определение косинуса угла

Нам известно, что $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и нужно найти $t$, который удовлетворяет этому равенству в пределах интервала $[0, \pi]$.

Шаг 2: Сравнение с известными значениями

Значения косинуса для стандартных углов известны. Например, косинус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а для угла $\frac{3\pi}{4}$ — $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть угол, при котором $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\frac{3\pi}{4}$, так как в пределах интервала $[0, \pi]$ это единственный угол с таким значением косинуса.

Ответ:

$$t = \frac{3\pi}{4}$$

б) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

Шаг 1: Определение косинуса угла

Задано, что $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти такой угол $t$ в интервале $[0, \pi]$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Сравнение с известными значениями

Значение $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается для угла $\frac{\pi}{6}$, но нам нужно найти угол, для которого косинус будет равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение достигается для угла $\frac{5\pi}{6}$, так как для углов в интервале $[0, \pi]$ косинус принимает отрицательные значения на правой половине окружности.

Ответ:

$$t = \frac{5\pi}{6}$$

в) Пусть $\operatorname{arccos}(-1) = t$, тогда:

$$\cos t = -1, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

Шаг 1: Определение косинуса угла

Нам нужно найти угол, для которого $\cos t = -1$ в интервале $[0, \pi]$.

Шаг 2: Сравнение с известными значениями

Известно, что косинус угла $\pi$ равен $-1$, и это единственный угол в интервале $[0, \pi]$, для которого косинус равен $-1$.

Ответ:

$$t = \pi$$

г) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

Шаг 1: Определение косинуса угла

Нам нужно найти угол $t$, для которого $\cos t = -\frac{1}{2}$, и этот угол должен лежать в интервале $[0, \pi]$.

Шаг 2: Сравнение с известными значениями

Значение $\cos t = \frac{1}{2}$ достигается для угла $\frac{\pi}{3}$, а $\cos t = -\frac{1}{2}$ достигается для угла $\frac{2\pi}{3}$, так как это значение косинуса лежит во второй четверти окружности, где косинус отрицателен.

Ответ:

$$t = \frac{2\pi}{3}$$

Итоговые ответы:

1. $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$
2. $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$
3. $\operatorname{arccos}(-1) = \pi$
4. $\operatorname{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$