ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $4 \cos^2 t < 1$;

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

в) $9 \cos^2 t > 1$;

г) $3 \cos^2 t > \cos t$

Решить неравенство:

а) $4 \cos^2 t < 1$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$4y^2 < 1;$$ $$4y^2 — 1 < 0;$$ $$(2y + 1)(2y — 1) < 0;$$ $$-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos t > -\frac{1}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t < \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n.$$

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 < y;$$ $$3y^2 — y < 0;$$ $$y(3y — 1) < 0;$$ $$0 < y < \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t > 0;$$ $$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t < \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

в) $9 \cos^2 t > 1$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$9y^2 > 1;$$ $$9y^2 — 1 > 0;$$ $$(3y + 1)(3y — 1) > 0;$$ $$y < -\frac{1}{3}, \quad y > \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t < -\frac{1}{3};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi n;$$ $$t_1 = \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi \cdot 0 = \pi — \arccos \frac{1}{3};$$ $$t_2 = -\left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi = \pi + \arccos \frac{1}{3};$$ $$\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \pi + \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t > \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{1}{3} + \pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + \pi n.$$

г) $3 \cos^2 t > \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 > y;$$ $$3y^2 — y > 0;$$ $$y(3y — 1) > 0;$$ $$y < 0, \quad y > \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t < 0;$$ $$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t > \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

а) $4 \cos^2 t < 1$

Шаг 1: Подстановка $y = \cos t$

Для удобства обозначим $y = \cos t$. Таким образом, наше неравенство становится:

$$4y^2 < 1$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

$$4y^2 — 1 < 0$$

Теперь это выражение напоминает стандартную форму квадратного неравенства.

Шаг 3: Разложение на множители

Мы видим, что $4y^2 — 1$ — это разность квадратов, и можем разложить её:

$$4y^2 — 1 = (2y + 1)(2y — 1)$$

Таким образом, неравенство становится:

$$(2y + 1)(2y — 1) < 0$$

Шаг 4: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $(2y + 1)(2y — 1) < 0$ с помощью метода интервалов. Мы знаем, что произведение двух выражений меньше нуля, если одно из них положительное, а другое — отрицательное. Найдем корни:

$$2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}$$ $$2y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2}$$

Таким образом, выражение $(2y + 1)(2y — 1)$ меняет знак в точках $y = -\frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{2}$. Разделим числовую ось на интервалы:

• $y < -\frac{1}{2}$
• $-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}$
• $y > \frac{1}{2}$

Для каждого интервала проверим знак произведения:

• Для $y < -\frac{1}{2}$, оба множителя $2y + 1$ и $2y — 1$ отрицательны, их произведение положительно.
• Для $-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}$, $2y + 1$ положителен, а $2y — 1$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• Для $y > \frac{1}{2}$, оба множителя $2y + 1$ и $2y — 1$ положительны, их произведение положительно.

Итак, неравенство $(2y + 1)(2y — 1) < 0$ выполняется только на интервале:

$$-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $t$

Так как $y = \cos t$, мы получаем:

$$-\frac{1}{2} < \cos t < \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Решение неравенства для $t$

Рассмотрим два условия:

$\cos t > -\frac{1}{2}$:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

$\cos t < \frac{1}{2}$:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Объединение интервалов

Мы объединяем два интервала:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

б) $3 \cos^2 t < \cos t$

Шаг 1: Подстановка $y = \cos t$

Как и раньше, подставим $y = \cos t$, тогда неравенство принимает вид:

$$3y^2 < y$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

$$3y^2 — y < 0$$

Теперь у нас квадратное неравенство, которое можно разложить.

Шаг 3: Разложение на множители

Вынесем общий множитель $y$:

$$y(3y — 1) < 0$$

Это неравенство снова решается с помощью метода интервалов.

Шаг 4: Решение неравенства

Корни у нас следующие:

$$y = 0 \quad \text{и} \quad 3y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{3}$$

Теперь разделим числовую ось на интервалы:

• $y < 0$
• $0 < y < \frac{1}{3}$
• $y > \frac{1}{3}$

Проверим знаки произведения:

• Для $y < 0$, оба множителя $y$ и $3y — 1$ отрицательны, их произведение положительно.
• Для $0 < y < \frac{1}{3}$, $y$ положителен, а $3y — 1$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• Для $y > \frac{1}{3}$, оба множителя $y$ и $3y — 1$ положительны, их произведение положительно.

Неравенство выполняется на интервале:

$$0 < y < \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $t$

Так как $y = \cos t$, мы получаем:

$$0 < \cos t < \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Решение неравенства для $t$

Рассмотрим два условия:

$\cos t > 0$:

$$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

$\cos t < \frac{1}{3}$:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Объединение интервалов

Мы объединяем два интервала:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

и

$$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

в) $9 \cos^2 t > 1$

Шаг 1: Подстановка $y = \cos t$

Для удобства подставим $y = \cos t$, тогда неравенство примет вид:

$$9y^2 > 1$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

$$9y^2 — 1 > 0$$

Теперь это выражение напоминает стандартную форму квадратного неравенства.

Шаг 3: Разложение на множители

Рассматриваем разность квадратов:

$$9y^2 — 1 = (3y + 1)(3y — 1)$$

Неравенство становится:

$$(3y + 1)(3y — 1) > 0$$

Шаг 4: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $(3y + 1)(3y — 1) > 0$ с помощью метода интервалов. Найдем корни:

$$3y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{3}$$ $$3y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{3}$$

Теперь разделим числовую ось на интервалы:

• $y < -\frac{1}{3}$
• $-\frac{1}{3} < y < \frac{1}{3}$
• $y > \frac{1}{3}$

Для каждого интервала проверим знак произведения:

• Для $y < -\frac{1}{3}$, оба множителя $3y + 1$ и $3y — 1$ отрицательны, их произведение положительно.
• Для $-\frac{1}{3} < y < \frac{1}{3}$, $3y + 1$ положителен, а $3y — 1$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• Для $y > \frac{1}{3}$, оба множителя $3y + 1$ и $3y — 1$ положительны, их произведение положительно.

Неравенство $(3y + 1)(3y — 1) > 0$ выполняется на интервалах:

$$y < -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $t$

Так как $y = \cos t$, мы получаем два неравенства:

$$\cos t < -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \cos t > \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Решение для каждого случая

$\cos t < -\frac{1}{3}$:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi n$$

Это даёт два значения для $t$:

$$t_1 = \pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$ $$t_2 = -\left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi n = \pi + \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Таким образом, интервал:

$$\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \pi + \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

$\cos t > \frac{1}{3}$:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Объединение интервалов

Теперь объединим два интервала:

$$-\arccos \frac{1}{3} + \pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{1}{3} + \pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + \pi n$$

г) $3 \cos^2 t > \cos t$

Шаг 1: Подстановка $y = \cos t$

Как и ранее, подставим $y = \cos t$, получаем:

$$3y^2 > y$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

$$3y^2 — y > 0$$

Вынесем общий множитель $y$:

$$y(3y — 1) > 0$$

Шаг 3: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $y(3y — 1) > 0$ с помощью метода интервалов.

Корни этого неравенства:

$$y = 0 \quad \text{и} \quad 3y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{3}$$

Теперь разделим числовую ось на интервалы:

• $y < 0$
• $0 < y < \frac{1}{3}$
• $y > \frac{1}{3}$

Для каждого интервала проверим знак произведения:

• Для $y < 0$, оба множителя $y$ и $3y — 1$ отрицательны, их произведение положительно.
• Для $0 < y < \frac{1}{3}$, $y$ положителен, а $3y — 1$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• Для $y > \frac{1}{3}$, оба множителя $y$ и $3y — 1$ положительны, их произведение положительно.

Неравенство $y(3y — 1) > 0$ выполняется на интервалах:

$$y < 0 \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $t$

Так как $y = \cos t$, получаем два неравенства:

$$\cos t < 0 \quad \text{или} \quad \cos t > \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Решение для каждого случая

$\cos t < 0$:

$$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

$\cos t > \frac{1}{3}$:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Это даёт интервал:

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Шаг 6: Объединение интервалов

Мы объединяем два интервала:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

и

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$