ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\arccos \frac{3}{5})$

б) $\sin (\arccos (-0,8))$

Вычислить значение:

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \sin t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:
$0 \leq t \leq \pi;$
$\sin t > 0;$

Значение синуса:
$\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\frac{3}{5}\right)};$
$\sin t = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) $\sin(\arccos(-0,8)) = \sin t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:
$0 \leq t \leq \pi;$
$\sin t > 0;$

Значение синуса:
$\sin(\arccos(-0,8)) = +\sqrt{1 — \cos^2(\arccos(-0,8))};$
$\sin t = \sqrt{1 — (-0,8)^2} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$

Ответ: 0,6.

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \sin t$

Шаг 1: Определим угол $t$

Пусть $t = \arccos \frac{3}{5}$. Это означает, что $t$ — угол, косинус которого равен $\frac{3}{5}$, то есть:

$$\cos t = \frac{3}{5}$$

Также, согласно определению арккосинуса, угол $t$ находится в интервале от $0$ до $\pi$ (то есть в первой или второй четверти):

$$0 \leq t \leq \pi$$

Так как $\cos t = \frac{3}{5}$ — положительное число, это значит, что угол $t$ лежит в первой четверти (так как косинус положителен в первой и четвертой четвертях, но второй четверти косинус отрицателен). Поскольку в первой четверти синус тоже положителен, нам необходимо найти его значение.

Шаг 2: Используем тождество для синуса

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\cos t = \frac{3}{5}$:

$$\sin^2 t + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + \frac{9}{25} = 1$$

Теперь решим для $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Отсюда:

$$\sin t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Так как угол $t$ находится в первой четверти, то $\sin t > 0$, и следовательно:

$$\sin t = \frac{4}{5}$$

Ответ для а): $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$

б) $\sin(\arccos(-0,8)) = \sin t$

Шаг 1: Определим угол $t$

Пусть $t = \arccos(-0,8)$. Это означает, что $t$ — угол, косинус которого равен $-0,8$, то есть:

$$\cos t = -0,8$$

Также, согласно определению арккосинуса, угол $t$ лежит в интервале от $0$ до $\pi$ (то есть в первой или второй четверти). Поскольку косинус отрицателен, это означает, что угол $t$ лежит во второй четверти, где синус положителен.

Шаг 2: Используем тождество для синуса

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\cos t = -0,8$:

$$\sin^2 t + (-0,8)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + 0,64 = 1$$

Теперь решим для $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — 0,64 = 0,36$$

Отсюда:

$$\sin t = \sqrt{0,36} = 0,6$$

Так как угол $t$ находится во второй четверти, то $\sin t > 0$, и следовательно:

$$\sin t = 0,6$$

Ответ для б): $\sin(\arccos(-0,8)) = 0,6$

Итоговый ответ:

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$

б) $\sin(\arccos(-0,8)) = 0,6$