ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(\arccos (-\frac{5}{13}))$

б) $\mathrm{ctg}(\arccos \frac{4}{5})$

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:
$0 \leq t \leq \pi;$
$\sin t > 0;$

Значение синуса:
$\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)};$
$\sin t = \sqrt{1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$

Значение тангенса:
$\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13} : \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{5};$
Ответ: $-\frac{12}{5}$.

б) $\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:
$0 \leq t \leq \pi;$
$\sin t > 0;$

Значение синуса:
$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\frac{4}{5}\right)};$
$\sin t = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$

Значение котангенса:
$\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} : \frac{3}{5} = \frac{4}{3};$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Шаг 1: Определим значение угла, для которого нужно вычислить тангенс.

Итак, нужно найти $\operatorname{tg}$ угла, который соответствует арккосинусу значения $-\frac{5}{13}$. Это означает, что:

$$\cos t = -\frac{5}{13}$$

где $t = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right)$.

Шаг 2: Используем тригонометрическую тождество для нахождения синуса.

Мы знаем, что для любого угла $t$ выполняется основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Из этого можно выразить синус через косинус:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$$

Теперь подставим значение $\cos t = -\frac{5}{13}$ в это выражение:

$$\sin^2 t = 1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2$$ $$\sin^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Теперь найдем $\sin t$, извлекая квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Поскольку в условиях задачи указано, что $\sin t > 0$, выбираем положительное значение.

Шаг 3: Вычислим тангенс угла.

Теперь, зная $\sin t = \frac{12}{13}$ и $\cos t = -\frac{5}{13}$, можем вычислить тангенс:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$$

Ответ: $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = -\frac{12}{5}$.

б) $\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Шаг 1: Определим значение угла, для которого нужно вычислить котангенс.

Нам нужно вычислить котангенс угла, который соответствует арккосинусу значения $\frac{4}{5}$. Это означает:

$$\cos t = \frac{4}{5}$$

где $t = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

Шаг 2: Используем тригонометрическую тождество для нахождения синуса.

Как и в предыдущем случае, используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Из этого выражения находим $\sin t$:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$$

Подставляем $\cos t = \frac{4}{5}$:

$$\sin^2 t = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin t = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Поскольку $\sin t > 0$, выбираем положительное значение.

Шаг 3: Вычислим котангенс угла.

Теперь, зная $\sin t = \frac{3}{5}$ и $\cos t = \frac{4}{5}$, можем вычислить котангенс:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$$

Ответ: $\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{3}$.