ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arccos (-1)+\arccos 0$

б) $\arccos \frac{1}{2}-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})+\arccos \frac{1}{2}$

Вычислить значение:

а) $\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi — \arccos 1 + \arccos 0 = \pi — 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$;

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) $\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$;

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

в) $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$;

Ответ: $\pi$.

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + \arccos \frac{1}{2} = \pi — \arccos \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

а) $\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi — \arccos 1 + \arccos 0 = \pi — 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

Первоначальная задача:
Мы начинаем с выражения:

$$\arccos(-1) + \arccos 0$$

Нужно вычислить каждое из этих значений.

Рассмотрим $\arccos(-1)$:
$\arccos x$ — это угол, для которого $\cos(\theta) = x$ и $0 \leq \theta \leq \pi$.

$$\arccos(-1) = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = -1$$

Косинус равен -1 в точке $\theta = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$.
Таким образом, $\arccos(-1) = \pi$.

Рассмотрим $\arccos(0)$:
$\arccos 0 = \theta$, где $\cos(\theta) = 0$.
Косинус равен 0 в точке $\theta = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Таким образом, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

Подставляем в исходное выражение:
Мы получаем:

$$\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi + \frac{\pi}{2}$$

Сложим эти два числа:

$$\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

Ответ:
Таким образом, ответ:

$$\frac{3\pi}{2}$$

б) $\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Первоначальная задача:
Нам нужно вычислить выражение:

$$\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Рассмотрим $\arccos \frac{1}{2}$:
$\arccos x$ — это угол $\theta$, для которого $\cos(\theta) = x$.

$$\arccos \frac{1}{2} = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{1}{2}$$

Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точке $\theta = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Рассмотрим $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$:
Теперь вычислим $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точке $\theta = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем в исходное выражение:
Теперь, подставив найденные значения:

$$\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Считаем разность:

$$\frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Ответ:
Таким образом, ответ:

$$\frac{\pi}{6}$$

в) $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$

Первоначальная задача:
Нужно вычислить выражение:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Рассмотрим $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$:
$\arccos x$ — это угол $\theta$, для которого $\cos(\theta) = x$.

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точке $\theta = \frac{3\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{4}$.

Рассмотрим $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$:
Теперь вычислим $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точке $\theta = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в исходное выражение:
Подставим найденные значения:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$$

Сложим эти два числа:

$$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$$

Ответ:
Таким образом, ответ:

$$\pi$$

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + \arccos \frac{1}{2} = \pi — \arccos \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

Первоначальная задача:
Нужно вычислить выражение:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + \arccos \frac{1}{2}$$

Рассмотрим $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$:
$\arccos x$ — это угол $\theta$, для которого $\cos(\theta) = x$.

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = -\frac{1}{2}$$

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в точке $\theta = \frac{2\pi}{3}$, так как $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$.

Рассмотрим $\arccos \frac{1}{2}$:
Теперь вычислим $\arccos \frac{1}{2}$:

$$\arccos \frac{1}{2} = \theta, \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{1}{2}$$

Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точке $\theta = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в исходное выражение:
Подставим найденные значения:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + \arccos \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$$

Сложим эти два числа:

$$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$$

Ответ:
Таким образом, ответ:

$$\frac{\pi}{3}$$