ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\arccos (-\frac{1}{2}))$

б) $tg(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})$

в) $ctg(\arccos 0)$

г) $\sin (\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})$

Вычислить значение:

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $ctg(\arccos 0) = ctg\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$;

Ответ: 0.

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Определим, что такое $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \theta \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = -\frac{1}{2}$$

Значение функции $\arccos(x)$ лежит в интервале $[0, \pi]$, поэтому угол $\theta$ должен быть в этом интервале. Известно, что $\cos(\pi — \alpha) = -\cos(\alpha)$, и для $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, значит:

$$\cos\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Следовательно, $\theta = \pi — \frac{\pi}{3}$.

Вычислим синус этого угла:

$$\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right)$$

Так как $\sin(\pi — x) = \sin(x)$, получаем:

$$\sin\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$$

Известно, что:

$$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Определим, что такое $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \theta \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\theta = \frac{\pi}{6}$$

Вычислим тангенс этого угла:

$$tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = tg\frac{\pi}{6}$$

Тангенс можно выразить как отношение синуса к косинусу:

$$tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}}$$

Известно, что:

$$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим эти значения:

$$tg\frac{\pi}{6} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ:

$$tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

в) $ctg(\arccos 0)$

Определим, что такое $\arccos(0)$:

$$\arccos(0) = \theta \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = 0$$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, следовательно:

$$\theta = \frac{\pi}{2}$$

Вычислим котангенс этого угла:
Котангенс можно выразить как отношение косинуса к синусу:

$$ctg\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}$$

Известно, что:

$$\cos\frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin\frac{\pi}{2} = 1$$

Подставим эти значения:

$$ctg\frac{\pi}{2} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ:

$$ctg(\arccos 0) = 0$$

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Определим, что такое $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \theta \quad \text{где} \quad \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

Вычислим синус этого угла:

$$\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4}$$

Известно, что:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) 0

г) $\frac{\sqrt{2}}{2}$