ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos t = \frac{1}{2}$;

б) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos t = 1$;

г) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решить уравнение:

а) $\cos t = \frac{1}{2}$;
$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$t = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $\cos t = 1$;
$t = 2\pi n$;
Ответ: $2\pi n$.

г) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$t = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $\cos t = \frac{1}{2}$

Исходное уравнение:
$\cos t = \frac{1}{2}$

Решение для $t$:
Мы ищем углы $t$, для которых косинус равен $\frac{1}{2}$. Косинус функции принимает значение $\frac{1}{2}$ в двух точках на интервале $[0, 2\pi)$, а именно в углах $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$ (или эквивалентно $t = \frac{5\pi}{3}$).

Общее решение:
Поскольку косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то общее решение будет выражаться как:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные повороты на окружности.

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Исходное уравнение:
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение для $t$:
Мы ищем углы $t$, для которых косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках на интервале $[0, 2\pi)$:

$$t = \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad t = -\frac{\pi}{4} \quad (\text{или эквивалентно} \ t = \frac{7\pi}{4})$$

Общее решение:
Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то общее решение для $t$ будет:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

в) $\cos t = 1$

Исходное уравнение:
$\cos t = 1$

Решение для $t$:
Косинус равен $1$ только в одной точке на интервале $[0, 2\pi)$, а именно в $t = 0$. Однако, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то общее решение будет:

$$t = 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = 2\pi n$$

г) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Исходное уравнение:
$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение для $t$:
Косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках на интервале $[0, 2\pi)$:

$$t = \frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad t = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{или эквивалентно} \ t = \frac{11\pi}{6})$$

Общее решение:
Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то общее решение для $t$ будет:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Итоговое решение:

• $\cos t = \frac{1}{2}$ — ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
• $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
• $\cos t = 1$ — ответ: $t = 2\pi n$
• $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$