ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos t = -1$;

б) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;

г) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решить уравнение:

а) $\cos t = -1$;
$t = \pi + 2\pi n$;
Ответ: $\pi + 2\pi n$.

б) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;
$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\cos t = -1$

Исходное уравнение: $\cos t = -1$.

Определение решения:
Косинус функции $\cos t$ принимает значение $-1$ на угле $t = \pi$ (на оси абсцисс, точка на горизонтальной оси угла в круге). Таким образом, $\cos t = -1$ имеет решение в точке $t = \pi$.

Общий вид решения:
Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, это означает, что если $t = \pi$ является решением, то любое решение можно записать как:

$$t = \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как на каждом шаге с шагом $2\pi$ значение косинуса будет снова равно $-1$.

Ответ:

$$t = \pi + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

б) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Исходное уравнение: $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Анализ значения:
Мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Косинус имеет значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в противоположных точках на круге: в 2-й и 3-й четвертях, так как косинус является отрицательной величиной. Это происходит на углах:

$$t_1 = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

и

$$t_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$$

Общий вид решения:
Поскольку косинус имеет период $2\pi$, то все решения можно записать как:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ:

$$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$

Исходное уравнение: $\cos t = -\frac{1}{2}$.

Анализ значения:
Мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Косинус принимает значение $-\frac{1}{2}$ в 2-й и 3-й четвертях:

$$t_1 = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

и

$$t_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$

Общий вид решения:
Поскольку косинус периодичен с периодом $2\pi$, решение будет:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Исходное уравнение: $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Анализ значения:
Мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Косинус принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в 2-й и 3-й четвертях:

$$t_1 = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

и

$$t_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.$$

Общий вид решения:
Поскольку косинус периодичен с периодом $2\pi$, решение будет:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Итоговые ответы:

а) $t = \pi + 2\pi n$
б) $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
г) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$