ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos t = \frac{1}{3}$

б) $\cos t=-1,1$

в) $\cos t = -\frac{3}{7}$

г) $\cos t = 2,04 > 1$

Решить уравнение:

а) $\cos t = \frac{1}{3}$;
$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.

б) $\cos t = -1,1 < -1$;
Ответ: корней нет.

в) $\cos t = -\frac{3}{7}$;
$t = \pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n$.

г) $\cos t = 2,04 > 1$;
Ответ: корней нет.

а) $\cos t = \frac{1}{3}$

Запишем основное уравнение:$$\cos t = \frac{1}{3}$$

По определению функции косинуса:

Косинус функции $t$ на окружности равен значению проекции точки на ось $x$, где угол $t$ измеряется от положительного направления оси $x$. Так как $\cos t = \frac{1}{3}$, мы ищем такие значения угла $t$, при которых эта проекция будет равна $\frac{1}{3}$.

Находим общий угол:

Для нахождения значения угла, удовлетворяющего уравнению $\cos t = \frac{1}{3}$, применяем обратную функцию косинуса:$$t = \arccos \frac{1}{3}$$Однако косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и, следовательно, помимо основного угла $t = \arccos \frac{1}{3}$, существует еще один угол, для которого косинус имеет то же значение. Этот угол будет симметричен по отношению к оси $x$ и равен:$$t = -\arccos \frac{1}{3}$$

Общий вид решения:

Учитывая, что косинус периодичен с периодом $2\pi$, общее решение будет:$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$где $n$ — целое число, отвечающее за количество полных циклов.

Ответ:$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

б) $\cos t = -1,1 < -1$

Запишем основное уравнение:$$\cos t = -1,1 < -1$$

Анализируем условия:

Функция косинуса $\cos t$ принимает значения в пределах от $-1$ до $1$. То есть:$$-1 \leq \cos t \leq 1$$Но в данном уравнении предлагается значение $-1,1$, которое является числом больше, чем $-1$, и тем более не лежит в пределах допустимых значений для косинуса.

Вывод:

Так как это значение не входит в область значений функции косинуса, уравнение не имеет решений.

Ответ:$$\text{Корней нет.}$$

в) $\cos t = -\frac{3}{7}$

Запишем основное уравнение:$$\cos t = -\frac{3}{7}$$

Определение угла:

Для нахождения угла, при котором косинус равен $-\frac{3}{7}$, применяем обратную функцию косинуса:$$t = \arccos \left( -\frac{3}{7} \right)$$Важно заметить, что косинус отрицателен, следовательно, этот угол будет располагаться в 2-й и 3-й четвертях окружности (где косинус отрицателен).

Находим симметричный угол:

Как и в предыдущем случае, существует симметричный угол относительно оси $x$, для которого косинус также будет равен $-\frac{3}{7}$. Это будет угол:$$t = -\arccos \left( -\frac{3}{7} \right)$$

Общий вид решения:

Периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$ позволяет записать общее решение:$$t = \pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:$$t = \pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n$$

г) $\cos t = 2,04 > 1$

Запишем основное уравнение:$$\cos t = 2,04$$

Анализируем условия:

Как уже было сказано, значение косинуса ограничено диапазоном от $-1$ до $1$:$$-1 \leq \cos t \leq 1$$Значение $2,04$ явно больше этого диапазона, и косинус не может быть равен числу больше 1.

Вывод:

Поскольку $2,04$ не входит в область значений функции косинуса, уравнение не имеет решений.

Ответ:$$\text{Корней нет.}$$

Итоговые ответы:

а) $t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$

б) Корней нет.

в) $t = \pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n$

г) Корней нет.