ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область допустимых значений выражения:

а) arccosx;

б) arccos2x;

в) arccos(х — 1);

г) arccos(3 — 2x).

Найти область определения выражения:

а) $y = \arccos x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arccos 2x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 2x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2};$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$.

в) $y = \arccos(x — 1)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x — 1 \leq 1;$$ $$0 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [0; 2]$.

г) $y = \arccos(3 — 2x)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 3 — 2x \leq 1;$$ $$-4 \leq -2x \leq -2;$$ $$2 \leq 2x \leq 4;$$ $$1 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [1; 2]$.

а) $y = \arccos x$

Область определения функции $\arccos x$ определяется тем, что арккосинус существует только для значений $x$ в интервале от $-1$ до $1$ (включительно). Это следует из того, что косинус угла лежит в пределах $[-1, 1]$, и чтобы $\arccos x$ был определен, $x$ должно лежать в этом интервале.

Условие для области определения:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Это условие гарантирует, что для любого $x$ в пределах данного интервала арккосинус будет иметь корректное значение.

Ответ:

$$x \in [-1; 1]$$

б) $y = \arccos 2x$

Здесь у нас выражение $\arccos 2x$, и нужно найти область определения, для которой арккосинус будет иметь смысл.

Условие для области определения:
Для того чтобы выражение $\arccos(2x)$ было определено, выражение внутри арккосинуса, то есть $2x$, должно лежать в интервале $[-1, 1]$, так как $\arccos z$ определен только для $z \in [-1, 1]$.

Таким образом, условие для $2x$ будет:

$$-1 \leq 2x \leq 1$$

Решаем это неравенство для $x$:
Разделим обе части неравенства на 2:

$$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$$

в) $y = \arccos(x — 1)$

Здесь выражение внутри арккосинуса — это $x — 1$. Мы также должны обеспечить, чтобы $x — 1$ находился в интервале $[-1, 1]$.

Условие для области определения:

$$-1 \leq x — 1 \leq 1$$

Решаем это неравенство для $x$:
Чтобы избавиться от $-1$ в неравенстве, прибавим 1 ко всем частям:

$$0 \leq x \leq 2$$

Ответ:

$$x \in [0; 2]$$

г) $y = \arccos(3 — 2x)$

Здесь выражение внутри арккосинуса — это $3 — 2x$. Мы должны найти область определения, при которой $3 — 2x$ лежит в интервале $[-1, 1]$.

Условие для области определения:

$$-1 \leq 3 — 2x \leq 1$$

Решаем это неравенство:
Разделим его на два неравенства:

• Для левой части $3 — 2x \geq -1$:

  $$3 — 2x \geq -1$$

  Вычитаем 3 из обеих частей:

  $$-2x \geq -4$$

  Разделим на -2 и перевернем знак неравенства:

  $$x \leq 2$$

• Для правой части $3 — 2x \leq 1$:

  $$3 — 2x \leq 1$$

  Вычитаем 3 из обеих частей:

  $$-2x \leq -2$$

  Разделим на -2 и перевернем знак неравенства:

  $$x \geq 1$$

Объединяем решения двух неравенств:

$$1 \leq x \leq 2$$

Ответ:

$$x \in [1; 2]$$

Итоговые ответы:

а) $x \in [-1; 1]$

б) $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$

в) $x \in [0; 2]$

г) $x \in [1; 2]$