ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\arcsin 1$

в) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\arcsin 0$

Вычислить значение:

а) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin 1 = t$, тогда:

$$\sin t = 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

в) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = t$, тогда:

$$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

г) Пусть $\arcsin 0 = t$, тогда:

$$\sin t = 0, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = 0$.

Функция $\arcsin x$ — это обратная функция к $\sin$, которая определена для $x \in \left[-1, 1\right]$. Для каждого значения $x$ из этого диапазона $\arcsin x$ возвращает угол $t$, для которого выполняется следующее условие:

$$\sin t = x \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

То есть, $\arcsin x$ возвращает угол $t$ в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (это важно, потому что функция $\sin t$ многозначна, но мы ограничиваемся этим промежутком, чтобы получить одно значение для каждого $x$).

а) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

По определению функции арксинуса, мы знаем, что:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Необходимо найти такой угол $t$, для которого синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Синус какого угла в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом, угол $t$, который удовлетворяет данному равенству, это:

$$t = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin 1 = t$, тогда:

По определению $\arcsin$, мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Синус какого угла равен 1?

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Следовательно, угол $t$, который удовлетворяет этому условию, это:

$$t = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

в) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = t$, тогда:

По определению $\arcsin$, мы ищем угол $t$, для которого:

$$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Синус какого угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$?

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, угол $t$, который удовлетворяет этому условию, это:

$$t = \frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

г) Пусть $\arcsin 0 = t$, тогда:

По определению $\arcsin$, мы ищем угол $t$, для которого:

$$\sin t = 0, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Синус какого угла равен 0?

Мы знаем, что:

$$\sin 0 = 0.$$

Таким образом, угол $t$, который удовлетворяет этому условию, это:

$$t = 0.$$

Ответ: $t = 0$.