ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \quad x \in [0; 2\pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \quad x \in [-\pi; \pi]$;

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x \in [-\pi; 2\pi]$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x \in [-2\pi; \pi]$

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \quad x \in [0; 2\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi n \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \quad x \in [-\pi; \pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{2\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x \in [-\pi; 2\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{3\pi}{4};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x \in [-2\pi; \pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{11\pi}{6};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$.

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \quad x \in [0; 2\pi]$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения угла $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$ на интервале $[0; 2\pi]$.

Поиск основного решения:

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:

Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, существуют два угла, для которых синус равен $\frac{1}{2}$ в одном периоде:

• Один угол будет равен $\frac{\pi}{6}$.
• Другой угол, где синус равен $\frac{1}{2}$, будет $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ:

На интервале $[0; 2\pi]$ корни уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \quad x \in [-\pi; \pi]$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения угла $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$ на интервале $[-\pi; \pi]$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, одно основное решение:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3}.$$

Все возможные решения:

Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и она принимает значение $-\frac{1}{2}$ ещё в одной точке:

$$x_2 = -\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ:

На интервале $[-\pi; \pi]$ корни уравнения:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}.$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x \in [-\pi; 2\pi]$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения угла $x$, для которых $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $[-\pi; 2\pi]$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и нам нужно найти углы, где синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти углы будут находиться в третьей и четвёртой четвертях.

Таким образом, основное решение будет:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}.$$

Все возможные решения:

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и все решения для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ будут следующие:

• В третьей четверти: $-\frac{\pi}{4} + \pi = -\frac{3\pi}{4}$,
• В четвёртой четверти: $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$,
• Повторное решение с периодом: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.

Ответ:

На интервале $[-\pi; 2\pi]$ корни уравнения:

$$x_1 = -\frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{5\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x \in [-2\pi; \pi]$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения угла $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале $[-2\pi; \pi]$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, основное решение:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:

Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и существует два угла, для которых косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x_2 = -\frac{\pi}{6}.$$

Следовательно, для решения на интервале $[-2\pi; \pi]$ добавляем период:

$$x_3 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{11\pi}{6}.$$

Ответ:

На интервале $[-2\pi; \pi]$ корни уравнения:

$$x_1 = -\frac{11\pi}{6}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$.

Итог:

а) $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

б) $-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

в) $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

г) $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$