ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $\sin x=0,6,x\in [\frac{\pi }{4};3\pi ]$

б) $\sin x=-\frac{2}{3},x\in (2;7)$

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $\sin x = 0,6, \; x \in \left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$

Построим графики функций $y = \sin x$ и $y = 0,6$:

Ответ: 3.

б) $\sin x = -\frac{2}{3}, \; x \in (2; 7)$

Построим графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{2}{3}$:

Ответ: 2.

а) $\sin x = 0,6, \; x \in \left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$

Понимание уравнения:

Нам нужно найти количество корней уравнения $\sin x = 0,6$ на промежутке $x \in \left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$. Это значит, что мы должны найти, сколько раз график функции $y = \sin x$ пересекает горизонтальную линию $y = 0,6$ на этом промежутке.

График функции $y = \sin x$:

График функции $y = \sin x$ — это периодическая волна с периодом $2\pi$, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$. Мы знаем, что синус проходит через значения $0,6$ дважды за один период $2\pi$ (в первой и второй половине периода), если значение $0,6$ лежит в пределах диапазона функции синуса.

Решение уравнения $\sin x = 0,6$:

Для нахождения корней на промежутке $\left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$, рассмотрим основное решение уравнения $\sin x = 0,6$ в интервале $[0, 2\pi]$. Это можно решить через арксинус:

$$x_1 = \arcsin(0,6).$$

Численно $\arcsin(0,6) \approx 0,6435$. Это первое решение в интервале $[0, \pi]$.

Вторая точка, где синус равен $0,6$, будет на верхней полупериоде $[\pi, 2\pi]$. Это решение можно найти как:

$$x_2 = \pi — \arcsin(0,6) = \pi — 0,6435 \approx 2,4981.$$

Теперь рассмотрим промежуток $\left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$. Мы видим, что отрезок $\left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$ охватывает более одного периода синуса. Так как $\sin x$ имеет период $2\pi$, и мы знаем, что на каждом периоде синус пересекает линию $y = 0,6$ дважды, можем ожидать два пересечения на интервале $[0, 2\pi]$ и одно пересечение на интервале $[2\pi, 3\pi]$.

Ответ:

Количество корней на интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; 3\pi \right]$ равно 3.

Ответ: 3.

б) $\sin x = -\frac{2}{3}, \; x \in (2; 7)$

Понимание уравнения:

Мы ищем количество корней уравнения $\sin x = -\frac{2}{3}$ на промежутке $x \in (2; 7)$.

График функции $y = \sin x$:

График функции $y = \sin x$ также периодичен с периодом $2\pi$, и его значения лежат в интервале от $-1$ до $1$. Мы ищем, сколько раз график синуса пересекает горизонтальную линию $y = -\frac{2}{3}$ на промежутке $(2; 7)$.

Решение уравнения $\sin x = -\frac{2}{3}$:

Для нахождения корней уравнения на интервале $(2; 7)$, рассмотрим решение уравнения $\sin x = -\frac{2}{3}$. Это уравнение имеет два решения на каждом периоде синуса. Мы можем найти основное решение через арксинус:

$$x_1 = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right).$$

Численно $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) \approx -0,7297$. Однако это значение не лежит на интервале $(2; 7)$, так как оно лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.

Следовательно, нужно найти два угла, где синус равен $-\frac{2}{3}$, на интервале $(0, 2\pi)$. Это будет:

$$x_1 = 2\pi — \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 3,871 \quad \text{и} \quad x_2 = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 3,1415.$$

Значения на интервале $(2; 7)$:

Эти значения лежат на интервале $(2; 7)$, так как они оба находятся в пределах $(2, 7)$.

Поэтому на интервале $(2; 7)$ существует два пересечения функции $\sin x$ с линией $y = -\frac{2}{3}$.

Ответ:

Количество корней на интервале $(2; 7)$ равно 2.

Ответ: 2.