ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{3}, \, x \in (1; 6)$;

б) $\cos x = -0,4, \, x \in (3; 11)$

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{3}, \, x \in (1; 6)$;

Построим графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{3}$:

Ответ: 2.

б) $\cos x = -0,4, \, x \in (3; 11)$;

Построим графики функций $y = \cos x$ и $y = -0,4$:

Ответ: 3.

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{3}, \, x \in (1; 6)$

1. Анализ уравнения:

Мы должны найти, сколько корней имеет уравнение $\cos x = \frac{1}{3}$ на промежутке $x \in (1; 6)$. Для этого нам нужно исследовать, как ведет себя график функции $y = \cos x$ на этом промежутке и где он пересекает горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$.

2. Свойства функции $\cos x$:

• Функция $y = \cos x$ — периодическая, с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
• Значения функции $\cos x$ находятся в интервале от $-1$ до $1$ для всех $x$. То есть $\cos x \in [-1, 1]$.
• График функции $y = \cos x$ имеет форму волны, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, и пересекает прямую $y = \frac{1}{3}$ на каждом цикле.

3. Найдем, где график функции пересекает прямую $y = \frac{1}{3}$:

Для начала определим значения $x$, при которых $\cos x = \frac{1}{3}$. Это уравнение можно решить с помощью обратной функции $\arccos$:

$$x = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$$

Посчитаем:

$$x_1 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 1.23096$$

Поскольку функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$, решение уравнения $\cos x = \frac{1}{3}$ будет повторяться через каждый период $2\pi$. Поэтому следующий корень можно найти, прибавив $2\pi$ к найденному значению:

$$x_2 = 2\pi — \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 2\pi — 1.23096 \approx 4.05222$$

4. Проверка на интервале $x \in (1; 6)$:

• Первый корень $x_1 \approx 1.23096$ лежит в интервале $(1; 6)$.
• Второй корень $x_2 \approx 4.05222$ также лежит в этом интервале.

5. Ответ:

Таким образом, на интервале $x \in (1; 6)$ у уравнения $\cos x = \frac{1}{3}$ есть два корня.

Ответ: 2.

б) $\cos x = -0,4, \, x \in (3; 11)$

1. Анализ уравнения:

Теперь нам нужно найти, сколько корней имеет уравнение $\cos x = -0,4$ на промежутке $x \in (3; 11)$. Для этого опять-таки исследуем график функции $y = \cos x$ и прямой $y = -0,4$ на данном интервале.

2. Свойства функции $\cos x$:

Как и в предыдущем случае, функция $y = \cos x$ имеет период $2\pi$, а значения функции лежат в интервале от $-1$ до $1$.

3. Найдем, где график функции пересекает прямую $y = -0,4$:

Для решения уравнения $\cos x = -0,4$, используем обратную функцию $\arccos$:

$$x = \arccos(-0,4)$$

Посчитаем:

$$x_1 = \arccos(-0,4) \approx 1.98231$$

Это значение является одним из корней, но оно находится за пределами нашего интервала $(3; 11)$, так как $1.98231$ меньше 3. Поэтому нам нужно найти следующие корни.

Функция $\cos x$ имеет период $2\pi$, следовательно, следующий корень можно найти, прибавив $2\pi$ к найденному значению:

$$x_2 = 2\pi — \arccos(-0,4) \approx 2\pi — 1.98231 \approx 4.30088$$

Следующий корень находится через один период:

$$x_3 = 2\pi + \arccos(-0,4) \approx 2\pi + 1.98231 \approx 8.26513$$

4. Проверка на интервале $x \in (3; 11)$:

• Первый корень $x_2 \approx 4.30088$ лежит в интервале $(3; 11)$.
• Второй корень $x_3 \approx 8.26513$ также лежит в интервале $(3; 11)$.

5. Ответ:

Таким образом, на интервале $x \in (3; 11)$ у уравнения $\cos x = -0,4$ есть три корня.

Ответ: 3.