ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x — \sqrt{3}) = 0$;

б) $2 \cos x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$;

в) $4 \sin^2 x — 3 \sin x = 0$;

г) $2 \sin^2 x — 1 = 0$

Решить уравнение:

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x — \sqrt{3}) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \cos x + 1 = 0;$
$2 \cos x = -1;$
$\cos x = -\frac{1}{2};$
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Второе уравнение:
$2 \sin x — \sqrt{3} = 0;$
$2 \sin x = \sqrt{3};$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$

б) $2 \cos x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$;

$\cos x (2 — 3 \sin x) = 0;$

Первое уравнение:
$\cos x = 0;$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Второе уравнение:
$2 — 3 \sin x = 0;$
$2 = 3 \sin x;$
$\sin x = \frac{2}{3};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n;$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \, (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$

в) $4 \sin^2 x — 3 \sin x = 0$;

$\sin x (4 \sin x — 3) = 0;$

Первое уравнение:
$\sin x = 0;$
$x = \pi n;$

Второе уравнение:
$4 \sin x — 3 = 0;$
$4 \sin x = 3;$
$\sin x = \frac{3}{4};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n;$

Ответ: $\pi n; \, (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n.$

г) $2 \sin^2 x — 1 = 0$;

$2 \sin^2 x = 1;$
$\sin^2 x = \frac{1}{2};$
$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}};$

Первое уравнение:
$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Второе уравнение:
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Общее значение:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x — \sqrt{3}) = 0$

Это произведение двух выражений. Для того чтобы оно равнялось нулю, хотя бы одно из этих выражений должно быть равно нулю. Таким образом, необходимо решить два уравнения:

$2 \cos x + 1 = 0$

$2 \sin x — \sqrt{3} = 0$

Первое уравнение: $2 \cos x + 1 = 0$

Переносим 1 на правую сторону:

$$2 \cos x = -1$$

Делим обе стороны на 2:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Находим решение для $\cos x = -\frac{1}{2}$. Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в углах, находящихся в третьей и четвертой четвертях. Мы знаем, что $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, значит, угол $x$ будет равен:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Где $n$ — целое число, потому что косинус имеет период $2\pi$.

Второе уравнение: $2 \sin x — \sqrt{3} = 0$

Переносим $\sqrt{3}$ на правую сторону:

$$2 \sin x = \sqrt{3}$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при значениях угла, равных $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Эти значения лежат в первой и второй четвертях, то есть:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ для пункта а):

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

б) $2 \cos x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$

Для решения этого уравнения сначала вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x \left( 2 — 3 \sin x \right) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. То есть необходимо решить два уравнения:

$\cos x = 0$

$2 — 3 \sin x = 0$

Первое уравнение: $\cos x = 0$

Косинус равен нулю в точках, где угол $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$, то есть:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Где $n$ — целое число, потому что $\cos x$ имеет период $2\pi$.

Второе уравнение: $2 — 3 \sin x = 0$

Переносим 2 на правую сторону:

$$3 \sin x = 2$$

Делим обе стороны на 3:

$$\sin x = \frac{2}{3}$$

$\sin x = \frac{2}{3}$ имеет решение для углов в первой и второй четвертях:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

Где $\arcsin \frac{2}{3}$ — это арксинус от $\frac{2}{3}$, то есть значение угла, для которого синус равен $\frac{2}{3}$.

Ответ для пункта б):

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

в) $4 \sin^2 x — 3 \sin x = 0$

Решим это уравнение через факторизацию:

$$\sin x (4 \sin x — 3) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, нам нужно решить два уравнения:

$\sin x = 0$

$4 \sin x — 3 = 0$

Первое уравнение: $\sin x = 0$

Синус равен нулю, когда угол $x$ равен $0$, $\pi$, $2\pi$ и так далее. То есть:

$$x = \pi n$$

Где $n$ — целое число, потому что синус имеет период $2\pi$.

Второе уравнение: $4 \sin x — 3 = 0$

Переносим 3 на правую сторону:

$$4 \sin x = 3$$

Делим обе стороны на 4:

$$\sin x = \frac{3}{4}$$

$\sin x = \frac{3}{4}$ имеет решение для углов в первой и второй четвертях:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$$

Ответ для пункта в):

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$$

г) $2 \sin^2 x — 1 = 0$

Переносим 1 на правую сторону:

$$2 \sin^2 x = 1$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$

Извлекаем корень из обеих сторон:

$$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ достигается для углов $\pm \frac{\pi}{4}$. Эти значения углов находятся в первой, второй, третьей и четвертой четвертях. Таким образом, мы можем записать общее решение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Чтобы выразить решение через параметр $k$, учтем, что углы с шагом $\frac{\pi}{2}$ могут быть представлены как:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

Ответ для пункта г):

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$