ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$;

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$

Решить уравнение:

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$;

$6 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$6y^2 + y — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$ и $y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Первое значение:

$\sin x = -\frac{2}{3}$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$;

Второе значение:

$\sin x = \frac{1}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$; $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$;

$3 — 3 \sin^2 x = 7 \sin x + 7$;

$3 \sin^2 x + 7 \sin x + 4 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$3y^2 + 7y + 4 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{-7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $y_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Первое значение:

$\sin x = -\frac{4}{3} < -1$;

$x \in \varnothing$;

Второе значение:

$\sin x = -1$;

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$

Перепишем уравнение:

Данное уравнение можно привести к стандартной форме квадратичного уравнения:

$$6 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0$$

Это квадратичное уравнение относительно $\sin x$.

Замена переменной:

Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение примет вид:

$$6y^2 + y — 2 = 0$$

Это обычное квадратичное уравнение относительно переменной $y$.

Вычислим дискриминант $D$:

Формула для дискриминанта квадратичного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ выглядит так:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для уравнения $6y^2 + y — 2 = 0$ коэффициенты:

$$a = 6, \, b = 1, \, c = -2$$

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$$

Таким образом, дискриминант $D = 49$.

Найдем корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b = 1$, $D = 49$, $a = 6$ в формулу:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 — 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, получаем два корня: $y_1 = -\frac{2}{3}$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

Решим для $\sin x$:

Теперь вернемся к переменной $x$ и решим для каждой из найденных величин $y_1$ и $y_2$.

Первый корень $y_1 = -\frac{2}{3}$:

У нас получается, что:

$$\sin x = -\frac{2}{3}$$

Для нахождения значения $x$ используем обратную функцию синуса:

$$x = \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right)$$

Однако синус отрицателен, что значит, что решение будет в обеих четвертях (3-й и 4-й):

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

Здесь $n$ — целое число, а $\arcsin \frac{2}{3}$ — это угол, для которого $\sin x = \frac{2}{3}$. Это значение всегда будет константой.

Второй корень $y_2 = \frac{1}{2}$:

В данном случае:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, значит:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Здесь также $n$ — целое число, и значения будут чередоваться между положительными и отрицательными углами.

Ответ:

Таким образом, окончательное решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n, \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$

Приведем уравнение к более удобному виду:

Исходное уравнение:

$$3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы выразить $\cos^2 x$ через $\sin x$:

$$3 (1 — \sin^2 x) = 7 (\sin x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$3 — 3 \sin^2 x = 7 \sin x + 7$$

Переносим все на одну сторону:

$$-3 \sin^2 x — 7 \sin x + 3 — 7 = 0$$

Упрощаем:

$$-3 \sin^2 x — 7 \sin x — 4 = 0$$

Умножаем на $-1$, чтобы упростить уравнение:

$$3 \sin^2 x + 7 \sin x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $\sin x$:

Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение принимает вид:

$$3y^2 + 7y + 4 = 0$$

Используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Где $a = 3$, $b = 7$, $c = 4$. Подставим эти значения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1$$

Дискриминант $D = 1$.

Найдем корни уравнения:

Формула для нахождения корней:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем $b = 7$, $D = 1$, $a = 3$:

$$y_1 = \frac{-7 — 1}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ $$y_2 = \frac{-7 + 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Анализируем решения:

Первое значение $y_1 = -\frac{4}{3}$:
Значение $\sin x = -\frac{4}{3}$ не может быть решением, так как $\sin x$ не может быть больше 1 или меньше -1. Поэтому для этого значения нет решения:

$$x \in \varnothing$$

Второе значение $y_2 = -1$:
Здесь $\sin x = -1$. Мы знаем, что $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Ответ:

Таким образом, окончательное решение:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$