ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$;

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin t \leq -\frac{1}{2}$

Решить неравенство:

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -\frac{1}{2};$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{4\pi}{3};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\sin t \leq -\frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -\frac{1}{2};$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6};$$ $$t_2 = -\frac{\pi}{6} + 2 \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение уравнения:

Сначала решим уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, чтобы найти точки, где синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Поэтому одно решение:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, для получения всех решений мы добавляем $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Рассмотрим второе решение:

Синус функции также принимает значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в 2-й четверти, так как синус положителен и в 1-й, и в 2-й четверти. Это происходит при угле:

$$t = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Таким образом, второе решение:

$$t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Искомые точки:

Искомые точки, где $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$, находятся между двумя решениями:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + \pi n \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

Эти решения делят ось на интервалы. Мы ищем те значения $t$, где синус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть в интервале между этими решениями.

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$

Решение уравнения:

Сначала решим уравнение $\sin t = -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}, \quad \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$

Это означает, что:

$$t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$$

Для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство:

Мы ищем $t$, для которых $\sin t > -\frac{1}{2}$. То есть, необходимо, чтобы $t$ находилось между двумя точками, где синус равен $-\frac{1}{2}$, а именно между $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$.

Из предыдущих решений, мы видим, что синус меньше или равен $-\frac{1}{2}$ на интервалах:

$$-\frac{\pi}{6} \leq t \leq \frac{7\pi}{6}$$

Искомые точки:

Искомые точки — это интервал, на котором синус больше $-\frac{1}{2}$. Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение уравнения:

Как и в предыдущем примере, решим уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, решения:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Рассмотрим неравенство:

Мы ищем значения $t$, где $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$. То есть, это все точки, кроме тех, которые лежат в интервале между $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$.

Интервал, на котором синус меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$, будет:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Искомые точки:

Ответ:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

г) $\sin t \leq -\frac{1}{2}$

Решение уравнения:

Как и в предыдущих пунктах, решим уравнение $\sin t = -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}, \quad \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, решения:

$$t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$$

Рассмотрим неравенство:

Мы ищем $t$, для которых $\sin t \leq -\frac{1}{2}$. Это означает, что значения $t$ должны находиться на интервалах, где синус равен или меньше $-\frac{1}{2}$. Эти интервалы:

$$-\frac{5\pi}{6} \leq t \leq -\frac{\pi}{6}$$

И в периодичности $2\pi n$.

Искомые точки:

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$