ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t < \frac{1}{3}$;

б) $\sin t \geq -0,6$;

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$;

г) $\sin t < -0,6$

Решить неравенство:

а) $\sin t < \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{1}{3};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arcsin \frac{1}{3} — \pi;$$ $$t_2 = \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3};$$

Ответ:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t \geq -0,6$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -0,6;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arcsin 0,6 + \pi \cdot 0 = -\arcsin 0,6;$$ $$t_2 = \arcsin 0,6 + \pi;$$

Ответ:

$$-\arcsin 0,6 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{1}{3};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3};$$ $$t_2 = -\arcsin \frac{1}{3} + \pi;$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t < -0,6$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -0,6;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arcsin 0,6 + \pi;$$ $$t_2 = -\arcsin 0,6 + 2\pi;$$

Ответ:

$$\pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

а) $\sin t < \frac{1}{3}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$.

Мы начинаем с нахождения решений для уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$. Чтобы найти такие значения $t$, используем арксинус:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Найдем конкретные значения.

Для этого вычислим $\arcsin \frac{1}{3}$ численно. Получаем:

$$\arcsin \frac{1}{3} \approx 0.3398 \, \text{(в радианах)}.$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$t = (-1)^n \cdot 0.3398 + \pi n.$$

Шаг 3: Определим искомые промежутки для неравенства $\sin t < \frac{1}{3}$.

Для решения неравенства $\sin t < \frac{1}{3}$ важно понять, что синус функции возрастает в промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, а затем убывает. Мы ищем все промежутки, где значение синуса меньше $\frac{1}{3}$.

Для этого необходимо найти, когда синус принимает значение $\frac{1}{3}$ и затем учесть, что синус меньше этого значения на определенных интервалах.

Таким образом, точки $t_1$ и $t_2$, где синус равен $\frac{1}{3}$, соответствуют:

$$t_1 = -\arcsin \frac{1}{3} — \pi = -0.3398 — \pi \approx -3.4814,$$ $$t_2 = \arcsin \frac{1}{3} = 0.3398.$$

Шаг 4: Интервал решения.

Периодичность функции синуса приводит к тому, что для всех целых чисел $n$ существует множество интервалов, на которых выполняется неравенство. Ответ:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t \geq -0,6$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin t = -0,6$.

Как и в предыдущем случае, решаем уравнение $\sin t = -0,6$. Для этого получаем:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n.$$

Вычислим $\arcsin 0,6$:

$$\arcsin 0,6 \approx 0.6435 \, \text{(в радианах)}.$$

Итак, общее решение уравнения:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot 0.6435 + \pi n.$$

Шаг 2: Найдем искомые точки.

Так как синус убывает на интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, а затем возрастает, искомые точки для неравенства $\sin t \geq -0,6$ — это точки, где синус равен $-0,6$:

$$t_1 = -\arcsin 0,6 + \pi \cdot 0 = -0.6435,$$ $$t_2 = \arcsin 0,6 + \pi = 0.6435 + \pi \approx 3.7851.$$

Шаг 3: Интервал решения.

Так как синус на промежутке от $-0,6$ выше или равен этому значению, решение будет в промежутке от $-\arcsin 0,6$ до $\pi + \arcsin 0,6$ с учетом периодичности:

$$-\arcsin 0,6 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$.

Это уравнение мы уже решали, и общее решение для него:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

Согласно предыдущим вычислениям, мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{1}{3} \approx 0.3398.$$

Шаг 2: Найдем искомые точки.

Для неравенства $\sin t \geq \frac{1}{3}$ нужно найти интервал, где синус больше или равен $\frac{1}{3}$. Это происходит на промежутке от $\arcsin \frac{1}{3}$ до $\pi — \arcsin \frac{1}{3}$:

$$t_1 = \arcsin \frac{1}{3} = 0.3398,$$ $$t_2 = \pi — \arcsin \frac{1}{3} = 3.1416 — 0.3398 = 2.8018.$$

Шаг 3: Интервал решения.

Решение неравенства $\sin t \geq \frac{1}{3}$ на интервале от $\arcsin \frac{1}{3}$ до $\pi — \arcsin \frac{1}{3}$, и это повторяется для всех целых чисел $n$:

$$\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t < -0,6$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin t = -0,6$.

Как и в предыдущих случаях, решаем уравнение $\sin t = -0,6$:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n.$$

Шаг 2: Найдем искомые точки.

Теперь нужно найти точки, где синус равен $-0,6$, и учитывать, что на этих интервалах синус будет меньше этого значения:

$$t_1 = \arcsin 0,6 + \pi = 0.6435 + \pi \approx 3.7851,$$ $$t_2 = -\arcsin 0,6 + 2\pi = -0.6435 + 2\pi \approx 5.6396.$$

Шаг 3: Интервал решения.

Ответ для интервала, где $\sin t < -0,6$, будет:

$$\pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$