ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\cos (\arcsin (-\frac{5}{13}))$

б) $\mathrm{tg}(\arcsin 0,6)$

в) $\cos (\arcsin \frac{8}{17})$

г) $\mathrm{ctg}(\arcsin (-0,8))$

Вычислить значение:

а) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \cos t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = +\sqrt{1 — \sin^2\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

б) $\operatorname{tg}\left(\arcsin 0,6\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcsin 0,6\right) = +\sqrt{1 — \sin^2\left(\arcsin 0,6\right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — 0,6^2} = \sqrt{1 — 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8;$$

Значение тангенса:

$$\operatorname{tg}\left(\arcsin 0,6\right) = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) $\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right) = \cos t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right) = +\sqrt{1 — \sin^2\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$

Ответ: $\frac{15}{17}$.

г) $\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0,8)\right) = \operatorname{ctg} t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcsin(-0,8)\right) = +\sqrt{1 — \sin^2\left(\arcsin(-0,8)\right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — (-0,8)^2} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$$

Значение котангенса:

$$\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0,8)\right) = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

а) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \cos t$

Шаг 1: Рассмотрим угол $t$, для которого $\sin t = -\frac{5}{13}$.

Когда мы имеем выражение $\arcsin(-\frac{5}{13})$, это означает, что мы ищем угол $t$, для которого синус равен $-\frac{5}{13}$. Также важно отметить, что:

$$t = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$

означает, что $t$ лежит в пределах $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, то есть в первой или четвертой четверти.

Шаг 2: Найдем значение косинуса $t$.

Чтобы найти $\cos t$, мы воспользуемся основной тригонометрической теоремой:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Из этого уравнения мы можем выразить $\cos t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Поскольку $\sin t = -\frac{5}{13}$, то:

$$\cos^2 t = 1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Важно отметить, что $t$ находится в четвертой четверти, где косинус положительный. Поэтому:

$$\cos t = \frac{12}{13}.$$

Ответ:

$$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13}.$$

б) $\operatorname{tg}\left(\arcsin 0,6\right) = \operatorname{tg} t$

Шаг 1: Рассмотрим угол $t$, для которого $\sin t = 0,6$.

Мы ищем угол $t$, для которого $\sin t = 0,6$. Таким образом:

$$t = \arcsin(0,6),$$

что означает, что $t$ находится в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть в первой или четвертой четверти.

Шаг 2: Найдем значение косинуса $t$.

Как и в предыдущем примере, используя теорему Пифагора, можем найти значение косинуса:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Для $\sin t = 0,6$:

$$\cos^2 t = 1 — 0,6^2 = 1 — 0,36 = 0,64.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{0,64} = 0,8.$$

Поскольку $t$ находится в первой четверти, где косинус положительный, то:

$$\cos t = 0,8.$$

Шаг 3: Найдем значение тангенса.

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Подставляем значения:

$$\operatorname{tg} t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg}\left(\arcsin 0,6\right) = \frac{3}{4}.$$

в) $\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right) = \cos t$

Шаг 1: Рассмотрим угол $t$, для которого $\sin t = \frac{8}{17}$.

Мы ищем угол $t$, для которого:

$$t = \arcsin\left(\frac{8}{17}\right),$$

что означает, что $t$ находится в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть в первой или четвертой четверти.

Шаг 2: Найдем значение косинуса $t$.

Используем теорему Пифагора для нахождения $\cos t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Для $\sin t = \frac{8}{17}$:

$$\cos^2 t = 1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 — \frac{64}{289} = \frac{289}{289} — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}.$$

Поскольку $t$ находится в первой четверти, где косинус положительный, то:

$$\cos t = \frac{15}{17}.$$

Ответ:

$$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right) = \frac{15}{17}.$$

г) $\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0,8)\right) = \operatorname{ctg} t$

Шаг 1: Рассмотрим угол $t$, для которого $\sin t = -0,8$.

Мы ищем угол $t$, для которого:

$$t = \arcsin(-0,8),$$

что означает, что $t$ находится в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть в первой или четвертой четверти.

Шаг 2: Найдем значение косинуса $t$.

Используем теорему Пифагора для нахождения $\cos t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Для $\sin t = -0,8$:

$$\cos^2 t = 1 — (-0,8)^2 = 1 — 0,64 = 0,36.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{0,36} = 0,6.$$

Поскольку $t$ находится в четвертой четверти, где косинус положительный, то:

$$\cos t = 0,6.$$

Шаг 3: Найдем значение котангенса.

Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Подставляем значения:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}.$$

Ответ:

$$\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0,8)\right) = -\frac{3}{4}.$$

Итоговые ответы:

а) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13}$

б) $\operatorname{tg}\left(\arcsin 0,6\right) = \frac{3}{4}$

в) $\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right) = \frac{15}{17}$

г) $\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0,8)\right) = -\frac{3}{4}$