ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$;

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$

Доказать тождество:

а) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$;

$$\sin(\arccos x + \pi — \arccos x) = 0;$$ $$\sin \pi = 0;$$ $$0 = 0;$$

Тождество доказано.

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$;

$$\cos(\arcsin x — \arcsin x) = 1;$$ $$\cos 0 = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$

Пошаговое решение:

Пусть $\theta_1 = \arccos x$ и $\theta_2 = \arccos(-x)$:

По определению, $\arccos x$ — это угол $\theta_1$, для которого $\cos(\theta_1) = x$ и $0 \leq \theta_1 \leq \pi$. Аналогично, $\arccos(-x)$ — это угол $\theta_2$, для которого $\cos(\theta_2) = -x$ и $0 \leq \theta_2 \leq \pi$.

Таким образом, имеем:

$$\theta_1 = \arccos x, \quad \theta_2 = \arccos(-x)$$

и по свойствам косинуса:

$$\cos(\theta_2) = -x.$$

Рассмотрим выражение $\arccos x + \arccos(-x)$:

Мы можем переписать это как:

$$\theta_1 + \theta_2 = \arccos x + \arccos(-x).$$

Поскольку $\cos(\theta_1) = x$ и $\cos(\theta_2) = -x$, то углы $\theta_1$ и $\theta_2$ являются такими, что:

$$\theta_2 = \pi — \theta_1.$$

Это следует из того, что косинус угла $\pi — \theta$ равен $-\cos(\theta)$, то есть:

$$\cos(\pi — \theta_1) = -\cos(\theta_1).$$

Следовательно:

$$\theta_2 = \pi — \theta_1.$$

Применим это к нашему выражению:

Подставим $\theta_2 = \pi — \theta_1$ в исходное выражение:

$$\theta_1 + \theta_2 = \arccos x + \arccos(-x) = \theta_1 + (\pi — \theta_1) = \pi.$$

Теперь вычислим синус этого выражения:

Мы знаем, что:

$$\sin(\pi) = 0.$$

Следовательно:

$$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = \sin(\pi) = 0.$$

Ответ:

$$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0.$$

Тождество доказано.

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$

Пошаговое решение:

Пусть $\theta_1 = \arcsin x$ и $\theta_2 = \arcsin(-x)$:

По определению, $\arcsin x$ — это угол $\theta_1$, для которого $\sin(\theta_1) = x$ и $-\frac{\pi}{2} \leq \theta_1 \leq \frac{\pi}{2}$. Аналогично, $\arcsin(-x)$ — это угол $\theta_2$, для которого $\sin(\theta_2) = -x$ и $-\frac{\pi}{2} \leq \theta_2 \leq \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, имеем:

$$\theta_1 = \arcsin x, \quad \theta_2 = \arcsin(-x).$$

По свойствам синуса:

$$\sin(\theta_2) = -x.$$

Рассмотрим выражение $\arcsin x + \arcsin(-x)$:

Мы можем записать:

$$\theta_1 + \theta_2 = \arcsin x + \arcsin(-x).$$

Поскольку $\sin(\theta_1) = x$ и $\sin(\theta_2) = -x$, то углы $\theta_1$ и $\theta_2$ являются такими, что:

$$\theta_2 = -\theta_1.$$

Это следует из того, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, то есть:

$$\sin(\theta_2) = -\sin(\theta_1).$$

Следовательно:

$$\theta_2 = -\theta_1.$$

Применим это к нашему выражению:

Подставим $\theta_2 = -\theta_1$ в исходное выражение:

$$\theta_1 + \theta_2 = \arcsin x + \arcsin(-x) = \theta_1 + (-\theta_1) = 0.$$

Теперь вычислим косинус этого выражения:

Мы знаем, что:

$$\cos(0) = 1.$$

Следовательно:

$$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = \cos(0) = 1.$$

Ответ:

$$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1.$$

Тождество доказано.