ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область допустимых значений выражения:

а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$;

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

г) $\arcsin(x^2 — 3)$

Найти область определения выражения:

а) $y = \arcsin x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 5 — 2x \leq 1;$$ $$-6 \leq -2x \leq -4;$$ $$4 \leq 2x \leq 6;$$ $$2 \leq x \leq 3;$$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1;$$ $$-2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $\arcsin(x^2 — 3)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x^2 — 3 \leq 1;$$ $$2 \leq x^2 \leq 4;$$ $$x^2 \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \leq -\sqrt{2}, \, x \geq \sqrt{2};$$ $$x^2 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

а) $y = \arcsin x$

Функция $\arcsin x$:

Обратная функция к $\sin x$ называется $\arcsin x$ и она определена на интервале $[-1; 1]$. Это означает, что для того, чтобы выражение $\arcsin x$ имело смысл, аргумент $x$ должен находиться в пределах этого интервала.

Условие для области определения:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Ответ:

Область определения:

$$x \in [-1; 1]$$

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$

Функция $\arcsin(5 — 2x)$:

Чтобы выражение $\arcsin(5 — 2x)$ имело смысл, выражение внутри арксинуса должно быть в пределах интервала $[-1; 1]$, то есть:

$$-1 \leq 5 — 2x \leq 1.$$

Решаем неравенство:

Начнем с левой части неравенства:

$$-1 \leq 5 — 2x.$$

Вычитаем 5 с обеих сторон:

$$-6 \leq -2x.$$

Умножаем обе стороны на $-1$ (меняем знак неравенства):

$$6 \geq 2x.$$

Делим на 2:

$$3 \geq x, \quad \text{или} \quad x \leq 3.$$

Теперь решим правую часть неравенства:

$$5 — 2x \leq 1.$$

Вычитаем 5 с обеих сторон:

$$-2x \leq -4.$$

Умножаем обе стороны на $-1$ (меняем знак неравенства):

$$2x \geq 4.$$

Делим на 2:

$$x \geq 2.$$

Объединяем обе части неравенства:

Объединяя условия $x \leq 3$ и $x \geq 2$, получаем:

$$2 \leq x \leq 3.$$

Ответ:

Область определения:

$$x \in [2; 3]$$

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$

Функция $\arcsin \frac{x}{2}$:

Чтобы выражение $\arcsin \frac{x}{2}$ имело смысл, аргумент $\frac{x}{2}$ должен быть в пределах интервала $[-1; 1]$, то есть:

$$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1.$$

Решаем неравенство:

Умножим обе части неравенства на 2:

$$-2 \leq x \leq 2.$$

Ответ:

Область определения:

$$x \in [-2; 2]$$

г) $\arcsin(x^2 — 3)$

Функция $\arcsin(x^2 — 3)$:

Чтобы выражение $\arcsin(x^2 — 3)$ имело смысл, выражение внутри арксинуса $x^2 — 3$ должно быть в пределах интервала $[-1; 1]$, то есть:

$$-1 \leq x^2 — 3 \leq 1.$$

Решаем неравенство:

Начнем с левой части неравенства:

$$-1 \leq x^2 — 3.$$

Добавляем 3 к обеим частям:

$$2 \leq x^2.$$

Это неравенство означает, что квадрат числа $x$ должен быть больше или равен 2:

$$x^2 \geq 2.$$

Решение этого неравенства:

$$x \leq -\sqrt{2}, \quad x \geq \sqrt{2}.$$

Теперь решим правую часть неравенства:

$$x^2 — 3 \leq 1.$$

Добавляем 3 к обеим частям:

$$x^2 \leq 4.$$

Это неравенство означает, что квадрат числа $x$ должен быть меньше или равен 4:

$$-2 \leq x \leq 2.$$

Объединяем оба неравенства:

Объединяя $x^2 \geq 2$ и $x^2 \leq 4$, получаем:

$$x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2].$$

Ответ:

Область определения:

$$x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2].$$

Области определения для каждого выражения:

а) $x \in [-1; 1]$,

б) $x \in [2; 3]$,

в) $x \in [-2; 2]$,

г) $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.