ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$;

б) $\arcsin 1,5$;

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$;

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$

Выяснить имеет ли смысл выражение:

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$;
$-1 < -\frac{2}{3} < 1$;
Ответ: да.

б) $\arcsin 1,5$;
$1,5 > 1$;
Ответ: нет.

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$;
$16 < 20$;
$4 < \sqrt{20}$;
$4 — \sqrt{20} < 0$;
$3 — \sqrt{20} < -1$;
Ответ: нет.

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$;
$16 < 20 < 25$;
$4 < \sqrt{20} < 5$;
$-5 < -\sqrt{20} < -4$;
$-1 < 4 — \sqrt{20} \leqslant 0$;
Ответ: да.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Пошаговое решение:

Что такое $\arcsin x$?

Функция $\arcsin x$ — это обратная функция к синусу. Она определена для $x$, лежащих в интервале $[-1; 1]$, то есть выражение $\arcsin x$ имеет смысл, если $-1 \leq x \leq 1$.

Проверка аргумента $-\frac{2}{3}$:

Мы видим, что:

$$-1 < -\frac{2}{3} < 1.$$

Это означает, что значение $-\frac{2}{3}$ лежит в допустимом интервале для функции $\arcsin$.

Вывод:

Поскольку $-\frac{2}{3}$ лежит в интервале $[-1; 1]$, то выражение $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$ имеет смысл.

Ответ:

Да, выражение имеет смысл.

б) $\arcsin 1,5$

Пошаговое решение:

Проверка аргумента $1,5$:

Для того чтобы $\arcsin x$ имело смысл, $x$ должен быть в интервале $[-1; 1]$. Однако:

$$1,5 > 1.$$

Значение $1,5$ выходит за пределы этого интервала.

Вывод:

Поскольку $1,5$ не лежит в интервале $[-1; 1]$, выражение $\arcsin 1,5$ не имеет смысла.

Ответ:

Нет, выражение не имеет смысла.

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$

Пошаговое решение:

Проверка выражения $3 — \sqrt{20}$:

Для того чтобы $\arcsin(3 — \sqrt{20})$ имело смысл, выражение $3 — \sqrt{20}$ должно быть в интервале $[-1; 1]$. Рассмотрим это выражение:

$$3 — \sqrt{20}.$$

Для начала вычислим $\sqrt{20}$:

$$\sqrt{20} \approx 4,472.$$

Вычисление значения $3 — \sqrt{20}$:

Теперь подставим:

$$3 — 4,472 \approx -1,472.$$

Проверка условия:

Получили:

$$3 — \sqrt{20} \approx -1,472.$$

Значение $-1,472$ меньше $-1$, то есть оно выходит за пределы интервала $[-1; 1]$.

Вывод:

Поскольку $3 — \sqrt{20}$ не лежит в интервале $[-1; 1]$, выражение $\arcsin(3 — \sqrt{20})$ не имеет смысла.

Ответ:

Нет, выражение не имеет смысла.

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$

Пошаговое решение:

Проверка выражения $4 — \sqrt{20}$:

Для того чтобы $\arcsin(4 — \sqrt{20})$ имело смысл, выражение $4 — \sqrt{20}$ должно быть в интервале $[-1; 1]$. Рассмотрим это выражение:

$$4 — \sqrt{20}.$$

Как мы уже вычисляли ранее:

$$\sqrt{20} \approx 4,472.$$

Вычисление значения $4 — \sqrt{20}$:

Теперь подставим:

$$4 — 4,472 \approx -0,472.$$

Проверка условия:

Получили:

$$4 — \sqrt{20} \approx -0,472.$$

Это значение лежит в интервале $[-1; 1]$, поскольку:

$$-1 \leq -0,472 \leq 1.$$

Вывод:

Поскольку $4 — \sqrt{20}$ лежит в интервале $[-1; 1]$, выражение $\arcsin(4 — \sqrt{20})$ имеет смысл.

Ответ:

Да, выражение имеет смысл.

Итог:

а) Да, выражение имеет смысл.

б) Нет, выражение не имеет смысла.

в) Нет, выражение не имеет смысла.

г) Да, выражение имеет смысл.