ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin t = 1$;

г) $\sin t = \frac{1}{2}$

Решить уравнение:

а) $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin t = 1$;

$$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

г) $\sin t = \frac{1}{2}$;

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:
У нас есть уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и нужно найти все возможные значения угла $t$.

Поиск основного решения:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{3}.$$

Все возможные решения:
Синус функции имеет период $2\pi$, и решение для синуса повторяется каждые $2\pi$. Также, для каждого значения синуса существует два угла, которые могут быть решением, то есть:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, все решения можно записать как:

$$t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции.

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

б) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:
У нас есть уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и нужно найти все возможные значения угла $t$.

Поиск основного решения:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{4}.$$

Все возможные решения:
Синус функции имеет период $2\pi$, и также для синуса существует два угла, которые могут быть решением:

$$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Все решения можно записать как:

$$t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции.

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

в) $\sin t = 1$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:
У нас есть уравнение $\sin t = 1$, и нужно найти все возможные значения угла $t$.

Поиск основного решения:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{2}.$$

Все возможные решения:
Синус функции имеет период $2\pi$, и решение для синуса $1$ повторяется каждые $2\pi$, поэтому все возможные значения угла:

$$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции.

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

г) $\sin t = \frac{1}{2}$

Пошаговое решение:

Понимание уравнения:
У нас есть уравнение $\sin t = \frac{1}{2}$, и нужно найти все возможные значения угла $t$.

Поиск основного решения:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:
Синус функции имеет период $2\pi$, и также для синуса существует два угла, которые могут быть решением:

$$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Все решения можно записать как:

$$t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции.

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Итог:

а) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$

в) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

г) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$