ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin t = -1$;

б) $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin t = -\frac{1}{2}$;

г) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решить уравнение:

а) $\sin t = -1$;
$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin t = -\frac{1}{2}$;
$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

г) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

а) $\sin t = -1$

Пошаговое решение:

Что такое $\sin t = -1$?

Сначала, вспомним, что функция синуса $\sin t$ имеет период $2\pi$, и её значения варьируются в интервале $[-1, 1]$. То есть для того, чтобы $\sin t = -1$, угол $t$ должен быть таким, чтобы его синус равнялся $-1$.

Нахождение основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, следовательно:

$$t = -\frac{\pi}{2}.$$

Все возможные решения:

Синус функции имеет период $2\pi$, то есть все решения для $\sin t = -1$ повторяются через каждые $2\pi$. Поэтому все возможные значения $t$ могут быть записаны как:

$$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность синуса.

Ответ:

$$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Пошаговое решение:

Что такое $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$?

Чтобы найти решение для уравнения $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, вспомним, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем те углы, для которых синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти углы лежат в третьей и четвёртой четвертях, так как синус отрицателен.

Нахождение основного решения:

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и основное решение — это $t = -\frac{\pi}{4}$.

Все возможные решения:

Синус имеет период $2\pi$, и существует два угла, для которых синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$: один в третьей четверти, а другой в четвёртой. Следовательно, все решения имеют вид:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность синуса.

Ответ:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

в) $\sin t = -\frac{1}{2}$

Пошаговое решение:

Что такое $\sin t = -\frac{1}{2}$?

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Для $\sin t = -\frac{1}{2}$ угол $t$ должен быть таким, что его синус равен $-\frac{1}{2}$. Эти углы находятся в третьей и четвёртой четвертях, так как синус отрицателен.

Нахождение основного решения:

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, и основное решение — это $t = -\frac{\pi}{6}$.

Все возможные решения:

Синус имеет период $2\pi$, и существует два угла, для которых синус равен $-\frac{1}{2}$: один в третьей четверти, а другой в четвёртой. Следовательно, все решения могут быть записаны как:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность синуса.

Ответ:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

г) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Пошаговое решение:

Что такое $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ угол $t$ должен быть таким, что его синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти углы также находятся в третьей и четвёртой четвертях.

Нахождение основного решения:

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, и основное решение — это $t = -\frac{\pi}{3}$.

Все возможные решения:

Синус имеет период $2\pi$, и существует два угла, для которых синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$: один в третьей четверти, а другой в четвёртой. Следовательно, все решения могут быть записаны как:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность синуса.

Ответ:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Итог:

а) $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

б) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$

в) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

г) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$