ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $\mathrm{arctg}1$

в) $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$

г) $\mathrm{arctg}0$

Вычислить значение:

а) Пусть $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:

$$\tg t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

б) Пусть $\arctg 1 = t$, тогда:

$$\tg t = 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

в) Пусть $\arctg \sqrt{3} = t$, тогда:

$$\tg t = \sqrt{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

г) Пусть $\arctg 0 = t$, тогда:

$$\tg t = 0, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = 0$.

а) Пусть $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:

Шаг 1: Что означает $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$?

Арктангенс ($\arctg$) — это обратная функция к тангенсу. То есть, если $\arctg x = t$, то это означает, что:

$$\tg t = x.$$

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, и нам нужно найти угол $t$, для которого $\tg t = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Шаг 2: Что такое тангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$?

Мы знаем, что $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это стандартное значение из тригонометрии. Таким образом:

$$t = \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем записать, что:

$$\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

б) Пусть $\arctg 1 = t$, тогда:

Шаг 1: Что означает $\arctg 1$?

Арктангенс $\arctg 1$ ищет такой угол $t$, для которого:

$$\tg t = 1.$$

Шаг 2: Что такое тангенс $1$?

Мы знаем, что $\tan \frac{\pi}{4} = 1$. Это также стандартное значение из тригонометрии. Таким образом:

$$t = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем записать:

$$\arctg 1 = \frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

в) Пусть $\arctg \sqrt{3} = t$, тогда:

Шаг 1: Что означает $\arctg \sqrt{3}$?

Арктангенс $\arctg \sqrt{3}$ ищет такой угол $t$, для которого:

$$\tg t = \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Что такое тангенс $\sqrt{3}$?

Мы знаем, что $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Это стандартное значение из тригонометрии. Таким образом:

$$t = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем записать:

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

г) Пусть $\arctg 0 = t$, тогда:

Шаг 1: Что означает $\arctg 0$?

Арктангенс $\arctg 0$ ищет такой угол $t$, для которого:

$$\tg t = 0.$$

Шаг 2: Что такое тангенс $0$?

Мы знаем, что $\tan 0 = 0$. Таким образом:

$$t = 0.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем записать:

$$\arctg 0 = 0.$$

Ответ: $t = 0$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{6}$

б) $t = \frac{\pi}{4}$

в) $t = \frac{\pi}{3}$

г) $t = 0$