ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$;

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;

г) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;
$x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;
$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + \pi n$.

а) $\operatorname{ctg} x = 1$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Котангенс $\operatorname{ctg} x$ — это обратная функция к тангенсу:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$$

Функция котангенс также периодична с периодом $\pi$. Нам нужно найти такой угол, при котором $\operatorname{ctg} x = 1$.

Значение котангенса равно 1, когда тангенс равен 1, то есть на угле $\frac{\pi}{4}$, так как:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$$

Следовательно:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$$

Таким образом, основное решение:

$$x_0 = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Котангенс также периодичен с периодом $\pi$, что означает, что решения будут повторяться каждые $\pi$. Это дает общее решение:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для уравнения $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$ нам нужно найти угол, для которого котангенс равен $-\sqrt{3}$. Вспоминаем, что $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, и котангенс равен $-\sqrt{3}$, когда тангенс равен $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, что соответствует углу $\frac{\pi}{6}$.

Однако так как котангенс отрицателен, решение будет находиться в третьем квадранте. Мы знаем, что котангенс в третьем квадранте равен отрицательному значению при угле $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Следовательно:

$$x_0 = \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Как и в предыдущем случае, период котангенса равен $\pi$, поэтому общее решение будет:

$$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

в) $\operatorname{ctg} x = 0$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Котангенс равен 0, когда тангенс стремится к бесконечности, то есть когда $x = \frac{\pi}{2}$. Это связано с тем, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$.

Таким образом, основное решение:

$$x_0 = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Период котангенса равен $\pi$, следовательно, общее решение будет:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

г) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для уравнения $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ мы ищем угол, для которого котангенс равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение котангенса соответствует углу $\frac{\pi}{6}$, так как:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$$

Но нам нужно отрицательное значение котангенса, что означает, что угол будет находиться в третьем квадранте, где котангенс отрицателен. Мы знаем, что в третьем квадранте котангенс принимает значение $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ при угле $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Но так как у нас отрицательное значение, нужный угол будет:

$$x_0 = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Как и ранее, период котангенса равен $\pi$, поэтому общее решение:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{4} + \pi n$

б) $\frac{5\pi}{6} + \pi n$

в) $\frac{\pi}{2} + \pi n$

г) $\frac{2\pi}{3} + \pi n$