ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$y^2 — 6y + 5 = 0;$

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = 1;$
$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 5;$
$x = \arctg 5 + \pi n;$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg 5 + \pi n$.

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$y^2 — 2y — 3 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = -1;$
$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 3;$
$x = \arctg 3 + \pi n;$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg 3 + \pi n$.

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Шаг 1. Замена переменной.
Для упрощения уравнения сделаем замену:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.
Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$.
Теперь, когда мы нашли значения для $y$, возвращаемся к исходной переменной $\operatorname{tg} x$. Мы получаем два случая:

$y_1 = 1$, то есть:

$$\operatorname{tg} x = 1$$

Решение этого уравнения:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как тангенс периодичен с периодом $\pi$.

$y_2 = 5$, то есть:

$$\operatorname{tg} x = 5$$

Решение этого уравнения:

$$x = \arctg 5 + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как тангенс периодичен с периодом $\pi$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg 5 + \pi n$$

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$

Шаг 1. Замена переменной.
Как и в предыдущем примере, сделаем замену:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 2y — 3 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.
Вновь решаем квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$.
Теперь, когда мы нашли значения для $y$, возвращаемся к исходной переменной $\operatorname{tg} x$. Мы получаем два случая:

$y_1 = -1$, то есть:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

Решение этого уравнения:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

$y_2 = 3$, то есть:

$$\operatorname{tg} x = 3$$

Решение этого уравнения:

$$x = \arctg 3 + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg 3 + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg 5 + \pi n$

б) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg 3 + \pi n$