ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg}(\pi + x) = \sqrt{3}$;

б) $2 \operatorname{ctg}(2\pi + x) — \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}$;

в) $-\sqrt{3} \operatorname{tg}(\pi — x) = 1$;

г) $\operatorname{ctg}(2\pi — x) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 2$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg}(\pi + x) = \sqrt{3}$;
$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $2 \operatorname{ctg}(2\pi + x) — \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}$;
$2 \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;
$3 \operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;
$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $-\sqrt{3} \operatorname{tg}(\pi — x) = 1$;
$-\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg}(2\pi — x) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 2$;
$-\operatorname{ctg} x — \operatorname{ctg} x = 2$;
$-2 \operatorname{ctg} x = 2$;
$\operatorname{ctg} x = -1$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg}(\pi + x) = \sqrt{3}$

Шаг 1. Используем формулу для тангенса.
Сначала используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(\pi + x) = \frac{\operatorname{tg} \pi + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} \pi \cdot \operatorname{tg} x}$$

Так как $\operatorname{tg} \pi = 0$, получаем:

$$\operatorname{tg}(\pi + x) = \frac{0 + \operatorname{tg} x}{1 — 0 \cdot \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg} x$$

Таким образом, уравнение $\operatorname{tg}(\pi + x) = \sqrt{3}$ сводится к:

$$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

Шаг 2. Находим решение для $x$.
Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, следовательно:

$$x = \arctg \sqrt{3}$$

Так как $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, общее решение будет:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

б) $2 \operatorname{ctg}(2\pi + x) — \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}$

Шаг 1. Применяем свойства котангенса и тангенса.
Используем формулы для котангенса и тангенса:

$$\operatorname{ctg}(2\pi + x) = \operatorname{ctg}(x)$$

так как $\operatorname{ctg}$ имеет период $\pi$.

Также:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg}(x)$$

так как $\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = — \operatorname{ctg} x$.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$2 \operatorname{ctg} x — (-\operatorname{ctg} x) = \sqrt{3}$$

Упрощаем:

$$2 \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$$ $$3 \operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$$

Делим обе стороны на 3:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 2. Находим решение для $x$.
Известно, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно:

$$x = \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Так как $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, общее решение будет:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

в) $-\sqrt{3} \operatorname{tg}(\pi — x) = 1$

Шаг 1. Используем формулу для тангенса.
Используем формулу для тангенса угла $\pi — x$:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg} x$$

Подставляем это в уравнение:

$$-\sqrt{3} (-\operatorname{tg} x) = 1$$

Упрощаем:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = 1$$

Делим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2. Находим решение для $x$.
Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно:

$$x = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$$

Так как $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, общее решение будет:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

г) $\operatorname{ctg}(2\pi — x) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 2$

Шаг 1. Используем формулы для котангенса и тангенса.
Используем формулу для котангенса угла $2\pi — x$:

$$\operatorname{ctg}(2\pi — x) = \operatorname{ctg}(x)$$

так как $\operatorname{ctg}(2\pi — x) = \operatorname{ctg}(x)$.

Также:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg}(x)$$

так как $\operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = — \operatorname{ctg} x$.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x — \operatorname{ctg} x = 2$$

Получаем:

$$-2 \operatorname{ctg} x = 2$$

Делим обе стороны на -2:

$$\operatorname{ctg} x = -1$$

Шаг 2. Находим решение для $x$.
Известно, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$, следовательно, $\operatorname{ctg} x = -1$ будет при:

$$x = \pi — \operatorname{arcctg} 1 = \frac{3\pi}{4}$$

Так как $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, общее решение будет:

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

в) $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

г) $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$