ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$;

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$;

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$;

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$;
$(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})(\operatorname{tg} x — \sqrt{3}) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$;
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;
$x = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0$;
$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x \cdot (2 \operatorname{tg} x + 3) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = -3$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Ответ: $\pi n; -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$.

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$;
$(2 \operatorname{tg} x + 3)(2 \operatorname{tg} x — 3) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = -3$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = 3$;
$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Ответ: $\pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$.

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x \cdot (3 \operatorname{tg} x — 2) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$;
$3 \operatorname{tg} x = 2$;
$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$;

Ответ: $\pi n; \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$

Шаг 1. Преобразуем уравнение.
Запишем уравнение в виде произведения:

$$\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0 \quad \text{или} \quad (\operatorname{tg} x + \sqrt{3})(\operatorname{tg} x — \sqrt{3}) = 0$$

Мы разложили квадратное выражение с помощью формулы разности квадратов.

Шаг 2. Решаем каждое из уравнений.

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$$ $$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$ получаем, используя известный факт, что $\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$. Так как тангенс отрицателен, углы, на которых тангенс равен $-\sqrt{3}$, находятся в 2 и 4 квадрантах. Первое решение будет:

$$x = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число, учитывающее периодичность функции тангенса с периодом $\pi$.

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0$$ $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ дается углом $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Общее решение:

$$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3. Записываем итоговый ответ.
Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

(положительное и отрицательное решение для тангенса с периодом $\pi$).

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1. Преобразуем уравнение.
Выносим $\operatorname{tg} x$ за скобки:

$$\operatorname{tg} x \cdot (2 \operatorname{tg} x + 3) = 0$$

Шаг 2. Решаем каждое из уравнений.

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = 0$ известно, так как тангенс равен нулю при $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Второе уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$$ $$2 \operatorname{tg} x = -3$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$ находим с помощью арктангенса:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число, учитывающее периодичность функции тангенса.

Шаг 3. Записываем итоговый ответ.
Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$

Шаг 1. Преобразуем уравнение.
Записываем уравнение в виде произведения:

$$4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0 \quad \text{или} \quad (2 \operatorname{tg} x + 3)(2 \operatorname{tg} x — 3) = 0$$

Шаг 2. Решаем каждое из уравнений.

Первое уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$$ $$2 \operatorname{tg} x = -3$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$ находим с помощью арктангенса:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Второе уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$$ $$2 \operatorname{tg} x = 3$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$ находим с помощью арктангенса:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3. Записываем итоговый ответ.
Ответ:

$$x = \pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1. Преобразуем уравнение.
Выносим $\operatorname{tg} x$ за скобки:

$$\operatorname{tg} x \cdot (3 \operatorname{tg} x — 2) = 0$$

Шаг 2. Решаем каждое из уравнений.

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = 0$ известно, так как тангенс равен нулю при $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Второе уравнение:

$$3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$$ $$3 \operatorname{tg} x = 2$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$ находим с помощью арктангенса:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3. Записываем итоговый ответ.
Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$
б) $x = \pi n; \quad x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$
в) $x = \pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$
г) $x = \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$