ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arctg}(-1)$

б) $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})$

в) $\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

г) $\mathrm{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

Вычислить значение:

а) Пусть $\operatorname{arctg}(-1) = t$, тогда:

$$\operatorname{tg} t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = t$, тогда:

$$\operatorname{tg} t = -\sqrt{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

в) Пусть $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = t$, тогда:

$$\operatorname{tg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

г) Пусть $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = t$, тогда:

$$\operatorname{tg} t = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

а) Пусть $\operatorname{arctg}(-1) = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание арктангенса.

Арктангенс $\operatorname{arctg} x$ — это обратная функция к тангенсу, которая возвращает угол $t$, для которого:

$$\tg t = x.$$

В данном случае, $\operatorname{arctg}(-1) = t$, что означает, что мы ищем угол $t$, для которого:

$$\tg t = -1.$$

Также важно заметить, что значение угла $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ (период арктангенса). Это ограничивает возможные значения угла $t$ и исключает углы из других четвертей.

Шаг 2: Решение уравнения $\tg t = -1$.

Мы знаем, что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$. Однако нам нужно значение тангенса, равное $-1$, что означает, что $t$ должен быть в той же позиции на оси, но с отрицательным значением. Таким образом, угол, для которого $\tg t = -1$, — это $t = -\frac{\pi}{4}$, поскольку $\tg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

Шаг 3: Ответ.

Таким образом, решение $t = -\frac{\pi}{4}$, поскольку это единственный угол в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, для которого тангенс равен $-1$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание арктангенса.

Мы снова рассматриваем арктангенс, который ищет угол $t$, для которого:

$$\tg t = -\sqrt{3}.$$

Угол $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Решение уравнения $\tg t = -\sqrt{3}$.

Из таблицы стандартных значений тангенса мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Чтобы получить $-\sqrt{3}$, нужно взять отрицательное значение этого угла, так как тангенс в третьей и четвертой четверти отрицателен. Таким образом, угол $t$, для которого $\tg t = -\sqrt{3}$, будет:

$$t = -\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Ответ.

Ответом будет:

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

в) Пусть $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание арктангенса.

Здесь нам нужно найти угол $t$, для которого:

$$\tg t = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тангенс этого угла находится в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Решение уравнения $\tg t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из стандартных значений для тангенса мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Чтобы получить $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, нам нужно взять отрицательное значение этого угла. Таким образом, угол $t$, для которого $\tg t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, это:

$$t = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Ответ.

Ответом будет:

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

г) Пусть $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание арктангенса.

Здесь мы ищем угол $t$, для которого:

$$\tg t = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Этот угол также лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Решение уравнения $\tg t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Чтобы получить $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, нам нужно взять отрицательное значение этого угла. Таким образом, угол $t$, для которого $\tg t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, это:

$$t = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Ответ.

Ответом будет:

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

Итоговые ответы:

а) $t = -\frac{\pi}{4}$

б) $t = -\frac{\pi}{3}$

в) $t = -\frac{\pi}{6}$

г) $t = -\frac{\pi}{6}$