ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $\mathrm{arcctg}1$

в) $\mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

г) $\mathrm{arcctg}0$

Вычислить значение:

а) Пусть $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\operatorname{arcctg} 1 = t$, тогда:

$$\operatorname{ctg} t = 1, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

в) Пусть $\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = t$, тогда:

$$\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

г) Пусть $\operatorname{arcctg} 0 = t$, тогда:

$$\operatorname{ctg} t = 0, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

а) Пусть $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание аркккотангенса.

Аркккотангенс $\operatorname{arcctg} x$ — это обратная функция к котангенсу, которая находит угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = x.$$

Таким образом, $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$ означает, что:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Шаг 2: Что такое котангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$?

Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом, угол $t$, для которого $\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}$, будет $t = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $0 \leq t \leq \pi$, то:

$$\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\operatorname{arcctg} 1 = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание аркккотангенса.

Здесь мы рассматриваем $\operatorname{arcctg} 1$, что означает, что:

$$\operatorname{ctg} t = 1.$$

Шаг 2: Что такое котангенс $1$?

Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Таким образом, угол $t$, для которого $\operatorname{ctg} t = 1$, будет $t = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $0 \leq t \leq \pi$, то:

$$\operatorname{arcctg} 1 = \frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

в) Пусть $\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание аркккотангенса.

Здесь мы ищем угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Шаг 2: Что такое котангенс $-\frac{\sqrt{3}}{3}$?

Из стандартных значений для котангенса мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Чтобы получить $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, нужно взять угол, который расположен в верхней половине окружности (второй или третьей четверти). Таким образом, угол $t$, для которого $\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, будет:

$$t = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $0 \leq t \leq \pi$, то:

$$\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{2\pi}{3}.$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

г) Пусть $\operatorname{arcctg} 0 = t$, тогда:

Шаг 1: Понимание аркккотангенса.

Здесь мы ищем угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = 0.$$

Шаг 2: Что такое котангенс $0$?

Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0.$$

Таким образом, угол $t$, для которого $\operatorname{ctg} t = 0$, это:

$$t = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3: Ответ.

Так как $t$ лежит в интервале $0 \leq t \leq \pi$, то:

$$\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{3}$

б) $t = \frac{\pi}{4}$

в) $t = \frac{2\pi}{3}$

г) $t = \frac{\pi}{2}$