ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1 — \arctg 1 =$

б) $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} =$

в) $\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} =$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})-\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})$

Вычислить значение:

а) $\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1 — \arctg 1 =$

$$= \pi — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} =$

$$= -\frac{\pi}{4} + \pi — \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} — \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$$

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в) $\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} =$

$$= \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}) = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \left( \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \right) =$

$$= \pi — \frac{\pi}{3} — \pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

а) $\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1 — \arctg 1 =$

Шаг 1: Что такое $\operatorname{arcctg}(-1)$?

Аркккотангенс $\operatorname{arcctg}(-1)$ — это угол, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = -1.$$

Мы знаем, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$. Для того чтобы получить $-1$, нужно взять угол в четвертой четверти, то есть:

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 2: Что такое $\arctg(-1)$?

Арктангенс $\arctg(-1)$ — это угол, для которого:

$$\tg t = -1.$$

Мы знаем, что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$, и для $-1$ тангенс будет равен углу, расположенном в нижней половине (т.е. в четвертой четверти). Таким образом:

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Вычисление суммы.

Теперь мы можем вычислить:

$$\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2}.$$

б) $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} =$

Шаг 1: Что такое $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

Арксинус $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — это угол $t$, для которого:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Для $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ синус будет отрицателен, и угол будет находиться в нижней половине. Таким образом:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Что такое $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$?

Аркккотангенс $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$ — это угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = -\sqrt{3}.$$

Из стандартных значений мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}.$$

Чтобы получить $-\sqrt{3}$, нужно взять угол, находящийся в верхней половине окружности, то есть:

$$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 3: Вычисление суммы.

Теперь мы можем вычислить:

$$-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi — \frac{\pi}{6}.$$

Приведем к общему знаменателю (12):

$$-\frac{3\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} — \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}.$$

Ответ:

$$\frac{7\pi}{12}.$$

в) $\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} =$

Шаг 1: Что такое $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$?

Аркккотангенс $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Для отрицательного значения котангенса нужно взять угол в верхней половине окружности (второй четверти):

$$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 2: Что такое $\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$?

Арктангенс $\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол $t$, для которого:

$$\tg t = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Вычисление разности.

Теперь мы можем вычислить:

$$\pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6}.$$

Приводим к общему знаменателю (6):

$$\frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2}.$$

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}) = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \left( \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \right) =$

Шаг 1: Что такое $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$?

Арккосинус $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ — это угол $t$, для которого:

$$\cos t = -\frac{1}{2}.$$

Мы знаем, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 2: Что такое $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$?

Аркккотангенс $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$ — это угол $t$, для которого:

$$\operatorname{ctg} t = -\sqrt{3}.$$

Из таблицы значений котангенса мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}.$$

Для получения $-\sqrt{3}$ угол должен быть в верхней половине окружности, то есть:

$$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 3: Вычисление разности.

Теперь вычислим:

$$\pi — \arccos \frac{1}{2} — \left( \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \right) = \pi — \frac{2\pi}{3} — \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right).$$

Упростим:

$$= \pi — \frac{2\pi}{3} — \pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}.$$

Приводим к общему знаменателю (6):

$$-\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6}.$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{2}$

б) $\frac{7\pi}{12}$

в) $\frac{\pi}{2}$

г) $-\frac{\pi}{6}$