ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} =$

б) $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$

в) $\arctg(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1 =$

г) $\arcsin (-1)-\frac{3}{2}\arccos \frac{1}{2}+3\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислить значение:

а) $2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} =$

$$= -2 \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} — \arctg 1 + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} =$$ $$= -2 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$

$$= 3 \arcsin\frac{1}{2} + 4\left(\pi — \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arctg\frac{\sqrt{3}}{3} =$$ $$= 3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 4\pi — \pi + \frac{\pi}{6} =$$ $$= 3\pi + \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 3\pi + \frac{4\pi}{6} = \frac{9\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{11\pi}{3}$.

в) $\arctg(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1 =$

$$= -\arctg\sqrt{3} + \pi — \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + \arcsin 1 =$$ $$= -\frac{\pi}{3} + \pi — \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \pi — \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \pi;$$

Ответ: $\pi$.

г) $\arcsin(-1) — \frac{3}{2} \arccos\frac{1}{2} + 3 \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$

$$= -\arcsin 1 — \frac{3}{2} \arccos\frac{1}{2} + 3\left(\pi — \arctg\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$$ $$= -\frac{\pi}{2} — \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3\pi — 3 \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} + 3\pi — \pi = \pi;$$

Ответ: $\pi$.

а) $2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} =$

Шаг 1: Понимание $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Арксинус $\arcsin x$ — это угол, синус которого равен $x$. Мы ищем угол, для которого:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Из стандартных значений мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Чтобы получить отрицательное значение, угол должен находиться в нижней половине окружности. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ равен:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Понимание $\arctg(-1)$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Для $\arctg(-1)$ мы ищем угол $t$, для которого:

$$\tg t = -1.$$

Из стандартных значений:

$$\tg \frac{\pi}{4} = 1,$$

а для $-1$ тангенс равен углу, который находится в четвертой четверти:

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Понимание $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус $\arccos x$ — это угол, для которого:

$$\cos t = x.$$

Для $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$ мы ищем угол, для которого:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Из стандартных значений:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом:

$$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 4: Подстановка значений.

Теперь подставляем все найденные значения:

$$2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) — \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}.$$

Упростим выражение:

$$= -\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3}.$$

б) $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$

Шаг 1: Понимание $\arcsin\frac{1}{2}$.

Арксинус $\arcsin x$ — это угол, для которого:

$$\sin t = x.$$

Для $\arcsin\frac{1}{2}$, мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2: Понимание $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Арккосинус $\arccos x$ — это угол, для которого:

$$\cos t = x.$$

Для $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, мы знаем, что:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 3: Понимание $\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Для $\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 4: Подстановка значений.

Теперь подставляем все найденные значения в выражение:

$$3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{3\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

Упростим:

$$= \frac{3\pi}{6} + \frac{12\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6}.$$

Приведем к общему знаменателю (6):

$$= \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}.$$

Ответ:

$$\frac{11\pi}{3}.$$

в) $\arctg(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1 =$

Шаг 1: Понимание $\arctg(-\sqrt{3})$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Для $\arctg(-\sqrt{3})$, мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Чтобы получить $-\sqrt{3}$, нужно взять отрицательное значение, то есть:

$$\arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Понимание $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Арккосинус $\arccos x$ — это угол, для которого:

$$\cos t = x.$$

Для $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, мы знаем, что:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 3: Понимание $\arcsin 1$.

Арксинус $\arcsin x$ — это угол, для которого:

$$\sin t = x.$$

Для $\arcsin 1$, мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Таким образом:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 4: Подстановка значений.

Теперь подставляем все найденные значения:

$$\arctg(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}.$$

Приводим к общему знаменателю (6):

$$= -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi.$$

Ответ:

$$\pi.$$

г) $\arcsin(-1) — \frac{3}{2} \arccos\frac{1}{2} + 3 \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =$

Шаг 1: Понимание $\arcsin(-1)$.

Арксинус $\arcsin x$ — это угол, для которого:

$$\sin t = x.$$

Для $\arcsin(-1)$, мы знаем, что:

$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1.$$

Таким образом:

$$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2: Понимание $\arccos\frac{1}{2}$.

Арккосинус $\arccos x$ — это угол, для которого:

$$\cos t = x.$$

Для $\arccos\frac{1}{2}$, мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Понимание $\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Для $\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 4: Подстановка значений.

Теперь подставляем все найденные значения:

$$\arcsin(-1) — \frac{3}{2} \arccos\frac{1}{2} + 3 \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{2} — \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

Упростим:

$$= -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{2} — \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.$$

Ответ:

$$\pi.$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{2\pi}{3}$

б) $\frac{11\pi}{3}$

в) $\pi$

г) $\pi$