ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\mathrm{arctg}(-\sqrt{3}))$

б) $tg(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$

в) $\cos (\mathrm{arctg}0)$

г) $ctg(\mathrm{arctg}(-1))$

Вычислить значение:

а) $\sin \left( \arctg(-\sqrt{3}) \right) = \sin \left( -\arctg \sqrt{3} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $tg \left( \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right) = tg \left( -\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $\cos (\arctg 0) = \cos 0 = 1$;
Ответ: 1.

г) $ctg \left( \arctg(-1) \right) = ctg \left( -\arctg 1 \right) = ctg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$;
Ответ: $-1$.

а) $\sin \left( \arctg(-\sqrt{3}) \right) = \sin \left( -\arctg \sqrt{3} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Шаг 1: Понимание $\arctg(-\sqrt{3})$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Значит, $\arctg(-\sqrt{3})$ — это угол $t$, для которого:

$$\tg t = -\sqrt{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Поскольку $\tg t = -\sqrt{3}$, угол $t$ должен быть в той же позиции, но с отрицательным значением. Таким образом, угол $t = -\frac{\pi}{3}$, так как $\tg \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$.

Шаг 2: Вычисление $\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)$.

Здесь нам нужно найти синус угла $-\frac{\pi}{3}$. Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Так как синус является нечетной функцией, то:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Ответ.

Таким образом, окончательное значение:

$$\sin \left( \arctg(-\sqrt{3}) \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $tg \left( \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right) = tg \left( -\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Шаг 1: Понимание $\arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Значит, $\arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$ — это угол $t$, для которого:

$$\tg t = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $\tg t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, угол $t$ должен быть в той же позиции, но с отрицательным значением. Таким образом:

$$t = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2: Вычисление $tg \left( -\frac{\pi}{6} \right)$.

Тангенс является нечетной функцией, то есть:

$$\tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\tg \frac{\pi}{6}.$$

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$\tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Шаг 3: Ответ.

Итак, результат:

$$tg \left( \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $\cos (\arctg 0) = \cos 0 = 1$;

Шаг 1: Понимание $\arctg 0$.

Арктангенс $\arctg 0$ — это угол, для которого:

$$\tg t = 0.$$

Мы знаем, что $\tg 0 = 0$, так что:

$$\arctg 0 = 0.$$

Шаг 2: Вычисление $\cos 0$.

Теперь мы просто вычисляем косинус угла 0:

$$\cos 0 = 1.$$

Шаг 3: Ответ.

Таким образом, результат:

$$\cos (\arctg 0) = 1.$$

Ответ: 1.

г) $ctg \left( \arctg(-1) \right) = ctg \left( -\arctg 1 \right) = ctg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$;

Шаг 1: Понимание $\arctg(-1)$.

Арктангенс $\arctg x$ — это угол, для которого:

$$\tg t = x.$$

Для $\arctg(-1)$, мы ищем угол $t$, для которого:

$$\tg t = -1.$$

Мы знаем, что:

$$\tg \frac{\pi}{4} = 1.$$

Чтобы получить $-1$, нам нужно взять угол в четвертой четверти, где тангенс отрицателен:

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Понимание $ctg \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.

Котангенс $ctg t$ — это обратная функция тангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\tg t}.$$

Поскольку $\tg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$, то:

$$\operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{-1} = -1.$$

Шаг 3: Ответ.

Таким образом, результат:

$$ctg \left( \arctg(-1) \right) = -1.$$

Ответ: $-1$.

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) $1$

г) $-1$