ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 1$;

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

в) $\operatorname{tg} x = -1$;

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 1$;
$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x = -1$;
$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg} x = 1$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Функция тангенс $\operatorname{tg} x$ — это периодическая функция с периодом $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$$

Для $\operatorname{tg} x = 1$ мы ищем углы, для которых тангенс равен единице.

Значение тангенса равно 1 на угле $\frac{\pi}{4}$, то есть:

$$x_0 = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Так как $\operatorname{tg} x$ периодична с периодом $\pi$, то общее решение можно записать как:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные значения, которые могут быть получены при добавлении целых кратных $\pi$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Значение $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $-\frac{\pi}{6}$, так как:

$$\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Таким образом, основное решение:

$$x_0 = -\frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Как и в предыдущем случае, функция тангенс имеет период $\pi$. Поэтому общее решение будет:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

в) $\operatorname{tg} x = -1$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для $\operatorname{tg} x = -1$ значение угла, на котором тангенс равен $-1$, равно $-\frac{\pi}{4}$, так как:

$$\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$$

Следовательно, основное решение:

$$x_0 = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Период тангенса равен $\pi$, поэтому общее решение будет:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $\frac{\pi}{6}$, так как:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно, основное решение:

$$x_0 = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Функция тангенс имеет период $\pi$, таким образом, общее решение будет:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{4} + \pi n$

б) $-\frac{\pi}{6} + \pi n$

в) $-\frac{\pi}{4} + \pi n$

г) $\frac{\pi}{6} + \pi n$