ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = -2$;

в) $\operatorname{tg} x = -3$;

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n$;
Ответ: $\pi n$.

б) $\operatorname{tg} x = -2$;
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$;
Ответ: $-\operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x = -3$;
$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$;
Ответ: $-\operatorname{arctg} 3 + \pi n$.

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$;
Ответ: $\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Функция тангенс $\operatorname{tg} x$ равна нулю, когда аргумент $x$ кратен $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(n\pi) = 0, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это значит, что основное решение будет:

$$x_0 = 0$$

(так как $\operatorname{tg} 0 = 0$).

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Поскольку $\operatorname{tg} x$ — периодическая функция с периодом $\pi$, для того чтобы учесть все возможные решения, нужно добавить к основному решению все целые кратные $\pi$. Это дает общее решение:

$$x = 0 + \pi n = \pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные решения с шагом $\pi$.

Ответ:

$$x = \pi n$$

б) $\operatorname{tg} x = -2$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для уравнения $\operatorname{tg} x = -2$ нужно найти значение угла, для которого тангенс равен $-2$. Мы не можем выразить этот угол в виде простого рационального числа, но для такого случая мы используем арктангенс:

$$x_0 = \operatorname{arctg}(-2)$$

Арктангенс $\operatorname{arctg}(-2)$ — это угол, для которого тангенс равен $-2$. Это значение существует и вычисляется с использованием математических функций.

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Период тангенса равен $\pi$, поэтому общее решение будет:

$$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные решения с периодом $\pi$.

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

в) $\operatorname{tg} x = -3$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для уравнения $\operatorname{tg} x = -3$ аналогично предыдущему случаю мы используем арктангенс, чтобы найти угол, для которого тангенс равен $-3$:

$$x_0 = \operatorname{arctg}(-3)$$

Арктангенс $\operatorname{arctg}(-3)$ дает угол, для которого $\operatorname{tg} x = -3$.

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому общее решение будет:

$$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные решения с шагом $\pi$.

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$

Шаг 1. Извлекаем основное решение.
Для уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$ мы ищем угол, для которого тангенс равен $\frac{1}{2}$. Используем арктангенс:

$$x_0 = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Арктангенс $\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right)$ даёт угол, для которого $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$.

Шаг 2. Учитываем периодичность функции.
Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому общее решение будет:

$$x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные решения с шагом $\pi$.

Ответ:

$$x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $\pi n$

б) $-\operatorname{arctg} 2 + \pi n$

в) $-\operatorname{arctg} 3 + \pi n$

г) $\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n$