ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0$

Решить уравнение:

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

$$\frac{x}{3} = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = 3 \cdot \left(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \pm 2\pi + 6\pi n;$$

Ответ: $\pm 2\pi + 6\pi n$.

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

$$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = 4 \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

г) $\cos 4x = 0$;

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Используем основные тождества.

Для начала вспомним, что $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению. Мы можем начать с того, что найдём $2x$, так как $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при $2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ или $2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Шаг 2. Решаем для $x$.

Рассмотрим два случая:

$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

$2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Решаем для каждого случая:

Для первого случая:

$$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{8} + k\pi$$

Для второго случая:

$$2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$$

Шаг 3. Объединяем оба решения.

Ответ для $x$:

$$x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$$

Или в обобщённой форме:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Находим $\frac{x}{3}$.

Мы знаем, что $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

$$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$

Шаг 2. Умножаем на 3.

Теперь умножим оба выражения на 3, чтобы выразить $x$:

$$x = \pm 2\pi + 6k\pi$$

Ответ: $\pm 2\pi + 6\pi n$.

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

Шаг 1. Находим $\frac{x}{4}$.

Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

$$\frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

Шаг 2. Умножаем на 4.

Теперь умножим обе стороны на 4:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 8k\pi$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

г) $\cos 4x = 0$

Шаг 1. Находим $4x$.

Мы знаем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

$$4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Шаг 2. Разделим на 4.

Теперь разделим обе стороны на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

б) $x = \pm 2\pi + 6\pi n$

в) $x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

г) $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$