ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]:

а) $\left(\sin x — \frac{1}{2}\right)(\sin x + 1) = 0$;

б) $\left(\cos x + \frac{1}{2}\right)(\cos x — 1) = 0$;

в) $\left(\cos x — \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$;

г) $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x — 1) = 0$

Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]:

а) $\left(\sin x — \frac{1}{2}\right)(\sin x + 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin x — \frac{1}{2} = 0$;

$\sin x = \frac{1}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$;

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x + 1 = 0$;

$\sin x = -1$;

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

На указанном отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$;

$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$;

$x_3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}$.

б) $\left(\cos x + \frac{1}{2}\right)(\cos x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x + \frac{1}{2} = 0$;

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm (\pi — \arccos \frac{1}{2}) + 2\pi n$;

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x — 1 = 0$;

$\cos x = 1$;

$x = 2\pi n$;

На указанном отрезке:

$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$;

$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$;

$x_3 = 2\pi \cdot 0 = 0$;

$x_4 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$;

Ответ: $0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi$.

в) $\left(\cos x — \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$;

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$;

$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

На указанном отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$;

$x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$;

$x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

г) $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$1 + \cos x = 0$;

$\cos x = -1$;

$x = \pi + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\sqrt{2} \sin x — 1 = 0$;

$\sqrt{2} \sin x = 1$;

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n$;

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

На указанном отрезке:

$x_1 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$;

$x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$;

$x_3 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi$.

а) $\left(\sin x — \frac{1}{2}\right)(\sin x + 1) = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. По свойству произведения:

$$A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 \quad \text{или} \quad B = 0$$

Значит, уравнение будет иметь решения, если:

1. $\sin x — \frac{1}{2} = 0$
2. $\sin x + 1 = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$$\sin x — \frac{1}{2} = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$

Решение уравнения $\sin x = a$, где $|a| \leq 1$, на множестве всех действительных чисел:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подставляем $a = \frac{1}{2}$:

$$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$ $$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Найдем значения $x$ на отрезке $[0; 2\pi]$:

Подставим $n = 0$:

$$x = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$$

Подставим $n = 1$:

$$x = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$

Подставим $n = 2$:

$$x = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi > 2\pi \Rightarrow \text{не подходит}$$

Подходящие корни:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}$$

Второе уравнение:

$$\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$$

Синус равен $-1$ только в одной точке на промежутке $[0; 2\pi]$:

$$x = \frac{3\pi}{2}$$

Пояснение:
График функции $\sin x$ достигает значения $-1$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$, и это единственная точка на отрезке $[0; 2\pi]$.

Подходящий корень:

$$x_3 = \frac{3\pi}{2}$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}}$$

б) $\left(\cos x + \frac{1}{2}\right)(\cos x — 1) = 0$

Снова, по свойству нуля произведения:

1. $\cos x + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$
2. $\cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$

Первое уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решение уравнения $\cos x = a$:

$$x = \pm \arccos a + 2\pi n$$ $$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Найдем значения $x$ на отрезке $[0; 2\pi]$:

Подставим $n = 0$:

$$x_1 = +\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$$

Подходящие корни:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{4\pi}{3}$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 1$$

На отрезке $[0; 2\pi]$, косинус равен 1 в точке:

$$x = 0, \quad x = 2\pi$$

Подходящие корни:

$$x_3 = 0, \quad x_4 = 2\pi$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{x = 0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi}$$

в) $\left(\cos x — \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$

Первое уравнение:

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$

Общие решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Подставим $n = 0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$

Подставим $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 2\pi \Rightarrow \text{не подходит}$$

Подходящие корни:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{4}$$

Второе уравнение:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$$

Общее решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Подставим $n = 0$:

$$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow \text{не на отрезке}$$

Подставим $n = 1$:

$$x_4 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$$

Подходящий корень:

$$x_4 = \frac{5\pi}{4}$$

Ответ к пункту в:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}}$$

г) $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x — 1) = 0$

Первое уравнение:

$$1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1$$

На отрезке $[0; 2\pi]$, $\cos x = -1$ в одной точке:

$$x = \pi$$

Подходящий корень:

$$x_1 = \pi$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{2} \sin x — 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Подставим $n = 0$:

$$x_2 = \frac{\pi}{4}$$

Подставим $n = 1$:

$$x_3 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$$

Подходящие корни:

$$x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ к пункту г:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}}$

б) $\boxed{0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi}$

в) $\boxed{\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}}$

г) $\boxed{\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi}$