ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите корни уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$

б) Найдите корни уравнения $\cos x=-\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[-2\pi ;3\pi ]$.

Найти корни уравнения:

а) $\sin x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 4\pi]$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

На указанном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $[-2\pi; 3\pi]$;

$$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

На указанном отрезке:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{4\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{2\pi}{3};$$ $$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3};$$ $$x_4 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3};$$ $$x_5 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

а) $\sin x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 4\pi]$

Шаг 1. Общее решение уравнения

Уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Рассмотрим тригонометрическое уравнение $\sin x = a$, где $a = \frac{1}{2}$.

Общее решение такого уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подставляем $a = \frac{1}{2}$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$ $$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 2. Подбор подходящих $x$ на отрезке $[0; 4\pi]$

Отрезок:

$$0 \leq x \leq 4\pi \Rightarrow \text{ищем все корни в этом промежутке}$$

Подставим разные значения $n$ и вычислим $x$:

Для $n = 0$:

$$x = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}$$

Подходит: $x_1 = \frac{\pi}{6}$

Для $n = 1$:

$$x = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$

Подходит: $x_2 = \frac{5\pi}{6}$

Для $n = 2$:

$$x = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$$

Подходит: $x_3 = \frac{13\pi}{6}$

Для $n = 3$:

$$x = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{6} + 3\pi = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6}$$

Подходит: $x_4 = \frac{17\pi}{6}$

Для $n = 4$:

$$x = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09$$ $$4\pi = 12.57 \Rightarrow \frac{25\pi}{6} > 4\pi \Rightarrow \text{Не входит в отрезок}$$

Не подходит

Итог:

Все корни на отрезке $[0; 4\pi]$:

$$x = \boxed{\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}}$$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $[-2\pi; 3\pi]$

Шаг 1. Общее решение уравнения

Уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решим с помощью стандартной формулы для уравнения $\cos x = a$:

$$x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подставляем $a = -\frac{1}{2}$. Сначала найдём $\arccos(-\frac{1}{2})$:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Общее решение:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2. Найдём корни на отрезке $[-2\pi; 3\pi]$

Отрезок:

$$-2\pi \leq x \leq 3\pi \Rightarrow \text{будем подставлять разные значения \(n\) и считать}$$

Для $n = -1$:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$$

Подходит

$$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -8.38$$ $$-2\pi = -6.28 \Rightarrow -\frac{8\pi}{3} < -2\pi \Rightarrow \text{Не подходит}$$

Для $n = 0$:

$$x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 0 = -\frac{2\pi}{3} \quad \text{✅ Подходит}$$ $$x_4 = \frac{2\pi}{3} + 0 = \frac{2\pi}{3} \quad \text{✅ Подходит}$$

Для $n = 1$:

$$x_5 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \quad \text{✅ Подходит}$$ $$x_6 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \quad \text{✅ Подходит (так как } \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 < 9.42 = 3\pi)$$

Для $n = 2$:

$$x_7 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 > 3\pi \Rightarrow \text{❌ Не подходит}$$

Итог:

Все корни на отрезке $[-2\pi; 3\pi]$:

$$x = \boxed{-\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}}$$

Финальные ответы:

а) $\boxed{\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}}$

б) $\boxed{-\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}}$