ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а)

$$\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2},x\in [0;2\pi ];$$

б)

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2},x\in [-\pi ;\pi ];$$

в)

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},x\in [-3\pi ;3\pi ];$$

г)

$$\mathrm{ctg}4x=-1,x\in [0;\pi ]$$

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а)

$$\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2},x\in [0;2\pi ];$$

Решения уравнения:

$$3x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=(-1{)}^0\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi \cdot 0}{3}=\frac{\pi }{12};$$$$x_2=(-1{)}^1\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4};$$$$x_3=(-1{)}^2\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi }{4};$$$$x_4=(-1{)}^3\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{3\pi }{3}=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12};$$$$x_5=(-1{)}^4\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{12}+\frac{4\pi }{3}=\frac{17\pi }{12};$$$$x_6=(-1{)}^5\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{3}=-\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{3}=\frac{19\pi }{12};$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{12};\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{11\pi }{12};\frac{17\pi }{12};\frac{19\pi }{12}\mathrm{.}$$

б)

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2},x\in [-\pi ;\pi ];$$

Решения уравнения:

$$3x=\pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n;$$$$x=\pm \frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=-\frac{\pi }{18}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{13\pi }{18};$$$$x_2=\frac{\pi }{18}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{11\pi }{18};$$$$x_3=-\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi \cdot 0}{3}=-\frac{\pi }{18};$$$$x_4=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi \cdot 0}{3}=\frac{\pi }{18};$$$$x_5=-\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{18};$$$$x_6=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi }{3}=\frac{13\pi }{18};$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{18};\pm \frac{11\pi }{18};\pm \frac{13\pi }{18}\mathrm{.}$$

в)

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},x\in [-3\pi ;3\pi ];$$

Решения уравнения:

$$\frac{x}{2}=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi }{6}+\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3};$$$$x_2=\frac{\pi }{3}+2\pi \cdot 0=\frac{\pi }{3};$$$$x_3=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3};$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}\mathrm{.}$$

г)

$$\mathrm{ctg}4x=-1,x\in [0;\pi ];$$

Решения уравнения:

$$4x=-\mathrm{<math\; display="block"\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mstyle><mtext>arcctg</mtext></mstyle></mrow></semantics></math>}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi n}{4};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{16};$$$$x_2=-\frac{\pi }{16}+\frac{2\pi }{4}=\frac{7\pi }{16};$$$$x_3=-\frac{\pi }{16}+\frac{3\pi }{4}=\frac{11\pi }{16};$$$$x_4=-\frac{\pi }{16}+\frac{4\pi }{4}=\frac{15\pi }{16};$$

Ответ:

$$\frac{3\pi }{16};\frac{7\pi }{16};\frac{11\pi }{16};\frac{15\pi }{16}\mathrm{.}$$

а)

Уравнение:

$$\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2},x\in [0;2\pi ]$$

Шаг 1: Найдём общее решение для уравнения $\sin y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для начала обозначим:

$$y=3x\Rightarrow \sin y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках на круге:

$$y=\frac{\pi }{4}+2\pi n,y=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Но можно также воспользоваться общей формулой:

$$y=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n$$

Шаг 2: Подставим обратно $y=3x$

$$3x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n$$

Шаг 3: Выразим $x$

$$x=\frac{(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n}{3}=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{3}$$

Шаг 4: Подбор значений $n$, чтобы $x\in [0;2\pi ]$

Найдём все такие $x$, которые попадают в указанный промежуток. Рассчитаем для нескольких $n$:

$n=0$:

$$x=(-1{)}^0\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi \cdot 0}{3}=\frac{\pi }{12}$$

$n=1$:

$$x=(-1{)}^1\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}$$

$n=2$:

$$x=(-1{)}^2\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi +8\pi }{12}=\frac{9\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}$$

$n=3$:

$$x=(-1{)}^3\cdot \frac{\pi }{12}+\pi =-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}$$

$n=4$:

$$x=\frac{\pi }{12}+\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi +16\pi }{12}=\frac{17\pi }{12}$$

$n=5$:

$$x=-\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{3}=\frac{-\pi +20\pi }{12}=\frac{19\pi }{12}$$

$n=6$:

$$x=\frac{\pi }{12}+2\pi =\frac{\pi +24\pi }{12}=\frac{25\pi }{12}>2\pi$$

→ выходит за пределы, больше $2\pi$

Ответ для пункта а:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{12};\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{11\pi }{12};\frac{17\pi }{12};\frac{19\pi }{12}}}$$

б)

Уравнение:

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2},x\in [-\pi ;\pi ]$$

Шаг 1: Найдём общее решение для $\cos y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$y=3x$$$$\cos y=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow y=\pm \arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$$

Шаг 2: Подставим $3x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$

$$x=\pm \frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}$$

Шаг 3: Подбор $n$, чтобы $x\in [-\pi ;\pi ]$

Пробуем разные значения $n$:

$n=-1$:

• $x=-\frac{\pi }{18}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi +12\pi }{18}=-\frac{13\pi }{18}$
• $x=\frac{\pi }{18}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{11\pi }{18}$

$n=0$:

• $x=-\frac{\pi }{18}$
• $x=\frac{\pi }{18}$

$n=1$:

• $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{18}$
• $x=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi }{3}=\frac{13\pi }{18}$

$n=2$:

• $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{4\pi }{3}=\frac{23\pi }{18}>\pi$ — исключаем
• $x=\frac{\pi }{18}+\frac{4\pi }{3}=\frac{25\pi }{18}>\pi$ — исключаем

Ответ для пункта б:

$$\boxed{{\displaystyle \pm \frac{\pi }{18};\pm \frac{11\pi }{18};\pm \frac{13\pi }{18}}}$$

в)

Уравнение:

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},x\in [-3\pi ;3\pi ]$$

Шаг 1: Найдём общее решение уравнения

$$\frac{x}{2}=\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi n=\frac{\pi }{6}+\pi n$$

Шаг 2: Умножим обе части на 2

$$x=\frac{2\pi }{6}+2\pi n=\frac{\pi }{3}+2\pi n$$

Шаг 3: Подбор $n$, чтобы $x\in [-3\pi ;3\pi ]$

$n=-2$:

$$x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}<-3\pi \Rightarrow \text{исключаем}$$

$n=-1$:

$$x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$$

$n=0$:

$$x=\frac{\pi }{3}$$

$n=1$:

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$$

$n=2$:

$$x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{13\pi }{3}>3\pi \Rightarrow \text{исключаем}$$

Ответ для пункта в:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}}}$$

г)

Уравнение:

$$\mathrm{ctg}4x=-1,x\in [0;\pi ]$$

Шаг 1: Найдём общее решение 

Вспоминаем:

Можно также выразить через отрицательное значение:

$$y=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Шаг 2: Подставим $4x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$

$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi n}{4}$$

Шаг 3: Подбор $n$, чтобы $x\in [0;\pi ]$

Ищем такие $n$, при которых $x$ попадает в отрезок:

$n=1$:

$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{16}$$

$n=2$:

$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{16}$$

$n=3$:

$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{3\pi }{4}=\frac{11\pi }{16}$$

$n=4$:

$$x=-\frac{\pi }{16}+\pi =\frac{15\pi }{16}$$

$n=5$:

$$x=-\frac{\pi }{16}+\frac{5\pi }{4}=\frac{19\pi }{16}>\pi \Rightarrow \text{исключаем}$$

Ответ для пункта г:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{3\pi }{16};\frac{7\pi }{16};\frac{11\pi }{16};\frac{15\pi }{16}}}$$