ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin x=-\frac{1}{2},x\in [-4,4]$

б) $\cos x=1,x\in [-6,16]$

а)

$$\sin x = -\tfrac{1}{2}, \quad x \in [-4; 4]$$

Решения уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right) + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_{1} = (-1)^{-1+1} \cdot \tfrac{\pi}{6} — \pi = \tfrac{\pi}{6} — \pi = -\tfrac{5\pi}{6};$$ $$x_{2} = (-1)^{0+1} \cdot \tfrac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\tfrac{\pi}{6};$$ $$x_{3} = (-1)^{1+1} \cdot \tfrac{\pi}{6} + \pi = \tfrac{\pi}{6} + \pi = \tfrac{7\pi}{6};$$

Ответ:

$$— \tfrac{5\pi}{6}; \; — \tfrac{\pi}{6}; \; \tfrac{7\pi}{6}.$$

б)

$$\cos x = 1, \quad x \in [-6; 16]$$

Решения уравнения:

$$x = 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_{1} = 2\pi \cdot 0 = 0;$$ $$x_{2} = 2\pi \cdot 1 = 2\pi;$$ $$x_{3} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi;$$

Ответ:

$$0; \; 2\pi; \; 4\pi.$$

а) $\sin x=-\tfrac12,\quad x\in[-4,\,4]$

1) Базовый угол и знаки

$$\arcsin\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac{\pi}{6}.$$

Так как требуется $\sin x=-\tfrac12<0$, то искомые углы лежат в IV и III четвертях (там синус отрицателен).

2) Две опорные точки на окружности

Стандартные решения на одном полном промежутке длины $2\pi$:

• IV четверть: $x=-\tfrac{\pi}{6}$ (это $2\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{11\pi}{6}$, эквивалентно $-\tfrac{\pi}{6}$ по модулю $2\pi$);
• III четверть: $x=\pi+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{7\pi}{6}$.

3) Общие решения (две семьи с периодом $2\pi$)

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k}},k\in \mathbb{Z};$$

$$\boxed{\;x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;},\quad k\in\mathbb Z; \qquad \boxed{\;x=\tfrac{7\pi}{6}+2\pi k\;},\quad k\in\mathbb Z.$$

(Эквивалентная «однопараметрическая» запись:
$\;x=(-1)^{n+1}\tfrac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$.)

4) Отбор по отрезку $[-4,\,4]$

Семья $x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$

Требуем:

$$-4\le -\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\le 4.$$

Добавим $\tfrac{\pi}{6}$:

$$-4+\tfrac{\pi}{6}\le 2\pi k\le 4+\tfrac{\pi}{6}.$$

Поделим на $2\pi>0$:

$$\frac{-4+\tfrac{\pi}{6}}{2\pi}\le k\le \frac{4+\tfrac{\pi}{6}}{2\pi}.$$

Оценим (для понимания диапазона): $\tfrac{\pi}{6}\approx0.5236,\;2\pi\approx6.2832$.

$$\frac{-4+0.5236}{6.2832}\approx \frac{-3.4764}{6.2832}\approx -0.553,$$

$$\frac{-4+0.5236}{6.2832}\approx\frac{-3.4764}{6.2832}\approx-0.553,\qquad \frac{4+0.5236}{6.2832}\approx\frac{4.5236}{6.2832}\approx0.720.$$

Целые $k$ в этом интервале: только $k=0$.
Отсюда один корень из этой семьи:

$$x=-\tfrac{\pi}{6}.$$

Семья $x=\tfrac{7\pi}{6}+2\pi k$

Требуем:

$$-4\le \tfrac{7\pi}{6}+2\pi k\le 4.$$

Вычтем $\tfrac{7\pi}{6}$:

$$-4-\tfrac{7\pi}{6}\le 2\pi k\le 4-\tfrac{7\pi}{6}.$$

Делим на $2\pi>0$:

$$\frac{-4-\tfrac{7\pi}{6}}{2\pi}\le k\le \frac{4-\tfrac{7\pi}{6}}{2\pi}.$$

Оценим: $\tfrac{7\pi}{6}\approx3.6652$.

$$\frac{-4-3.6652}{6.2832}\approx \frac{-7.6652}{6.2832}\approx -1.220,$$

$$\frac{-4-3.6652}{6.2832}\approx\frac{-7.6652}{6.2832}\approx-1.220,\qquad \frac{4-3.6652}{6.2832}\approx\frac{0.3348}{6.2832}\approx0.053.$$

Целые $k$: $-1$ и $0$.
Два корня:

$$k=-1:x=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6};$$

$$k=-1:\quad x=\tfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\tfrac{5\pi}{6}; \qquad k=0:\quad x=\tfrac{7\pi}{6}.$$

5) Проверка и упорядочивание

Проверка значений:

$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{5\pi }{6})=-\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2};\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2};$$

$$\sin\!\left(-\tfrac{5\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=-\tfrac12;\quad \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12;\quad \sin\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12.$$

Все три числа лежат в $[-4,\,4]$: $-\tfrac{5\pi}{6}\approx-2.618$, $-\tfrac{\pi}{6}\approx-0.524$, $\tfrac{7\pi}{6}\approx3.665$.

Ответ для (а):

$$\boxed{-\tfrac{5\pi}{6};\;-\tfrac{\pi}{6};\;\tfrac{7\pi}{6}.}$$

б) $\cos x=1,\quad x\in[-6,\,16]$

1) Общие решения

Косинус равен $1$ ровно в точках кратных полному обороту:

$$\boxed{\;x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z\;}.$$

2) Отбор по отрезку $[-6,\,16]$

Нужно найти целые $n$, удовлетворяющие

$$-6\le 2\pi n\le 16.$$

Делим на $2\pi>0$:

$$\frac{-6}{2\pi}\le n\le \frac{16}{2\pi}.$$

Оценим: $2\pi\approx6.2832$.

$$-0.955\ldots\le n\le 2.546\ldots$$

Следовательно, $n\in\{0,1,2\}$.

Соответствующие $x$:

$$n=0:x=0;n=1:x=2\pi ;$$

$$n=0:\ x=0;\qquad n=1:\ x=2\pi;\qquad n=2:\ x=4\pi.$$

3) Проверка и граничные точки

$$\cos (0)=1,\cos (2\pi )=1,$$

$$\cos(0)=1,\quad \cos(2\pi)=1,\quad \cos(4\pi)=1.$$

Числа лежат в $[-6,\,16]$: $0\in[-6,16]$, $2\pi\approx6.283\in[-6,16]$, $4\pi\approx12.566\in[-6,16]$.
Отрицательное $n=-1$ дало бы $x=-2\pi\approx-6.283<-6$ — вне отрезка; $n=3$ дало бы $x=6\pi\approx18.850>16$ — тоже вне.

Ответ для (б):

$$\boxed{0;\;2\pi;\;4\pi.}$$