ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin \frac{x}{2}=0$, $x\in [-12;18]$;

б) $\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in [1;7]$

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin \frac{x}{2}=0$, $x\in [-12;18]$;

Решения уравнения:

$$\frac{x}{2}=\pi n;$$$$x=2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=2\pi \cdot (-1)=-2\pi ;$$$$x_2=2\pi \cdot 0=0;$$$$x_3=2\pi \cdot 1=2\pi ;$$$$x_4=2\pi \cdot 2=4\pi ;$$

Ответ: $-2\pi ;0;2\pi ;4\pi$.

б) $\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in [1;7]$;

Решения уравнения:

$$3x=\pm (\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})+2\pi n;$$$$3x=\pm (\pi -\frac{\pi }{4})+2\pi n=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n;$$$$x=\pm \frac{3\pi }{4\cdot 3}+\frac{2\pi n}{3}=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1=-\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=-\frac{3\pi }{12}+\frac{8\pi }{12}=\frac{5\pi }{12};$$$$x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi }{12}+\frac{8\pi }{12}=\frac{11\pi }{12};$$$$x_3=-\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{3}=-\frac{3\pi }{12}+\frac{16\pi }{12}=\frac{13\pi }{12};$$$$x_4=\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{3}=\frac{3\pi }{12}+\frac{16\pi }{12}=\frac{19\pi }{12};$$$$x_5=-\frac{\pi }{4}+\frac{6\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4};$$

Ответ: $\frac{5\pi }{12};\frac{11\pi }{12};\frac{13\pi }{12};\frac{19\pi }{12};\frac{7\pi }{4}$.

Найти корни уравнения на заданном промежутке.

а) $\sin \frac{x}{2}=0,x\in [-12;18]$

1) Общая идея

$\sin t=0⟺t=\pi n,n\in \mathbb{Z}$. Здесь $t={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

2) Общее решение

$$\frac{x}{2}=\pi n⟹x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

3) Подбор целых $n$ по отрезку $[-12;18]$

Требуем: $-12\le 2\pi n\le 18$. Делим на $2\pi >0$:

$$\frac{-12}{2\pi }\le n\le \frac{18}{2\pi }\mathrm{.}$$

Оценим границы:

$$\frac{-12}{2\pi }\approx \frac{-12}{6.283}\approx -1.91,\frac{18}{2\pi }\approx \frac{18}{6.283}\approx \mathrm{2.86.}$$

Значит

$$n\in \{-1,0,1,2\}\mathrm{.}$$

4) Корни на отрезке

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n=-1}& {\displaystyle :x=-2\pi ;}\\ {\displaystyle n=0}& {\displaystyle :x=0;}\\ {\displaystyle n=1}& {\displaystyle :x=2\pi ;}\\ {\displaystyle n=2}& {\displaystyle :x=4\pi \mathrm{.}}\end{array}$$

5) Быстрая проверка принадлежности

$-2\pi \approx -6.283\in [-12;18]$, $0\in [-12;18]$, $2\pi \approx 6.283\in [-12;18]$, $4\pi \approx 12.566\in [-12;18]$.

Ответ (а): $-2\pi ;0;2\pi ;4\pi$.

б) $\cos 3x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},x\in [1;7]$

1) Опорные углы

$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ на единичной окружности при

$$\theta =\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{и}\theta =\frac{5\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

потому что это квадранты II и III с «опорным» углом $\pi \mathrm{/}4$.

Здесь $\theta =3x$.

2) Общее решение для $x$

Два арифметических прогрессора:

1. $3x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}}$.
2. $3x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}}$.

Эквивалентная компактная запись (объединяет оба ряда):

$$x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Далее удобно рассматривать две ветви отдельно:

• «плюсовая» ветвь: $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}$;
• «минусовая» ветвь: $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}$.

3) Подбор целых $n$ по отрезку $[1;7]$

Ветвь $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}$

Требуем $1\le {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}\le 7$.

Вычитаем ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ и умножаем на ${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}(>0)$:

$$\lceil \frac{3}{2\pi }(1-\frac{\pi }{4})\rceil \le n\le \lfloor \frac{3}{2\pi }(7-\frac{\pi }{4})\rfloor \mathrm{.}$$

Оцениваем:

$$\frac{3}{2\pi }(1-\frac{\pi }{4})\approx 0.10\Rightarrow \lceil \cdot \rceil =1,\frac{3}{2\pi }(7-\frac{\pi }{4})\approx 2.97\Rightarrow \lfloor \cdot \rfloor =2.$$

Следовательно, $n=1,2$, и получаем

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{12},x=\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{3}=\frac{19\pi }{12}\mathrm{.}$$

Ветвь $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}$

Требуем $1\le -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\pi n}{3}}\le 7$.

Прибавляем ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ и умножаем на ${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}$:

$$\lceil \frac{3}{2\pi }(1+\frac{\pi }{4})\rceil \le n\le \lfloor \frac{3}{2\pi }(7+\frac{\pi }{4})\rfloor \mathrm{.}$$

Оцениваем:

$$\frac{3}{2\pi }(1+\frac{\pi }{4})\approx 0.85\Rightarrow \lceil \cdot \rceil =1,\frac{3}{2\pi }(7+\frac{\pi }{4})\approx 3.72\Rightarrow \lfloor \cdot \rfloor =3.$$

Значит $n=1,2,3$, и получаем

$$x=-\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{12},x=-\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{3}=\frac{13\pi }{12},x=-\frac{\pi }{4}+\frac{6\pi }{3}=\frac{7\pi }{4}\mathrm{.}$$

4) Сбор всех корней и упорядочивание

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{5\pi }{12},\frac{11\pi }{12},\frac{13\pi }{12},\frac{19\pi }{12},\frac{7\pi }{4}}}$$

5) Быстрая числовая проверка принадлежности $[1;7]$

$$\frac{5\pi }{12}\approx 1.309,\frac{11\pi }{12}\approx 2.880,\frac{13\pi }{12}\approx 3.403,\frac{19\pi }{12}\approx 4.974,\frac{7\pi }{4}\approx 5.498,$$

все лежат в $[1;7]$. Следующие элементы прогрессий:
$\frac{\pi }{4}+\frac{6\pi }{3}=\frac{9\pi }{4}\approx 7.069>7$ и $-\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{3}=\frac{29\pi }{12}\approx 7.595>7$, поэтому новых корней на отрезке нет.

Ответ (б): ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}};{\displaystyle \frac{11\pi }{12}};{\displaystyle \frac{13\pi }{12}};{\displaystyle \frac{19\pi }{12}};{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$.