ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right) = \frac{1}{2}$$

и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right];$$

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу

$$(-\pi ;\frac{\pi }{2})\mathrm{.}$$

Решить уравнение:

$$\sin\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1;$$ $$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$ $$2x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;$$ $$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n.$$

а) Наименьший положительный корень:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n>0;\quad \pi n>\frac{\pi}{8};\quad n>\frac{1}{8};\quad n\ge1;$$ $$x=-\frac{\pi}{8}+\pi\cdot1=\frac{7\pi}{8}.$$

Ответ: $\frac{7\pi}{8}$.

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$:

$$x_1=-\frac{\pi}{8}+\pi\cdot0=-\frac{\pi}{8},\qquad x_2=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

Ответ: $\left(-\frac{\pi}{8};\,\frac{7\pi}{8}\right)$.

в) Наибольший отрицательный корень:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n<0;\quad \pi n<\frac{\pi}{8};\quad n<\frac{1}{8};\quad n\le0;$$ $$x=-\frac{\pi}{8}+\pi\cdot0=-\frac{\pi}{8}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

г) Корни, принадлежащие интервалу $(-\pi;\frac{\pi}{2})$:

$$x_1=-\frac{\pi}{8}+\pi\cdot0=-\frac{\pi}{8}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

Решаем уравнение

Дано:

$$\sin\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Факт о синусе

Синус принимает значение $-1$ в точках вида

$$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad (k\in\mathbb Z),$$

потому что $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ и синус $2\pi$-периодичен по аргументу $t$.

Применяем это к нашему аргументу $t=2x-\frac{\pi}{4}$:

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Решаем относительно $x$:

$$2x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi n =-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$ $$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Это и есть общее решение.

Замечание о периоде по $x$

Поскольку $\sin(\,\cdot\,)$ имеет период $2\pi$ по аргументу, а аргумент — это $2x-\frac{\pi}{4}$, то по $x$ функция $\sin\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$ имеет период $\displaystyle T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. Это согласуется с общим решением: корни образуют арифметическую прогрессию с шагом $\pi$.

Быстрая проверка общего решения

Подставим $x=-\frac{\pi}{8}+\pi n$:

$$2x-\frac{\pi}{4} =2\!\left(-\frac{\pi}{8}+\pi n\right)-\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{4}+2\pi n-\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$\sin\bigl(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)=-1$. Всё корректно.

а) Наименьший положительный корень

Ищем наименьшее $x>0$ среди $x_n=-\frac{\pi}{8}+\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

Решим неравенство:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \pi n>\frac{\pi}{8} \;\;\Longleftrightarrow\;\; n>\frac{1}{8}.$$

Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее $n>\frac{1}{8}$, это $n=1$.

Отсюда

$$x_{\min>0}=-\frac{\pi}{8}+\pi\cdot 1 =\frac{7\pi}{8}.$$

Проверка минимальности.
При $n=0$ получаем $x=-\frac{\pi}{8}<0$ — не подходит.
При $n=1$ $x=\frac{7\pi}{8}>0$. Любое $n\ge2$ даёт $x\ge \frac{15\pi}{8}>\frac{7\pi}{8}$, т.е. больше. Значит $\frac{7\pi}{8}$ — действительно наименьший положительный корень.

Ответ (а): $\displaystyle \frac{7\pi}{8}$.

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$

Нужно найти все целые $n$, для которых

$$-\frac{\pi}{2}\;\le\;x_n=-\frac{\pi}{8}+\pi n\;\le\;\frac{3\pi}{2}.$$

Решаем двойное неравенство пошагово (одинаковые действия с обеими частями):

Прибавим $\frac{\pi}{8}$ ко всем трём частям:

$$-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\;\le\;\pi n\;\le\;\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{8}.$$

Левая граница: $-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}=-\frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=-\frac{3\pi}{8}$.
Правая граница: $\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{12\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{13\pi}{8}$.

Итак,

$$-\frac{3\pi}{8}\;\le\;\pi n\;\le\;\frac{13\pi}{8}.$$

Разделим на $\pi>0$:

$$-\frac{3}{8}\;\le\;n\;\le\;\frac{13}{8}.$$

Целые $n$ из этого промежутка: $n=0,1$.

Соответствующие $x$:

$$n=0:\;x_1=-\frac{\pi}{8},\qquad n=1:\;x_2=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

Проверка включённости концов:
$-\frac{\pi}{8}\in\bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\bigr]$, т.к. $-\frac{\pi}{2}=-\frac{4\pi}{8}\le -\frac{\pi}{8}$.
$\frac{7\pi}{8}\le \frac{3\pi}{2}=\frac{12\pi}{8}$ — тоже внутри.

Проверка соседних $n$:
$n=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}-\pi=-\frac{9\pi}{8}<-\frac{\pi}{2}$ — вне слева.
$n=2\Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}+2\pi=\frac{15\pi}{8}>\frac{3\pi}{2}$ — вне справа.

Ответ (б): $\displaystyle -\frac{\pi}{8}$ и $\displaystyle \frac{7\pi}{8}$.

в) Наибольший отрицательный корень

Ищем максимальный по величине $x<0$ среди $x_n=-\frac{\pi}{8}+\pi n$.

Решим неравенство:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \pi n<\frac{\pi}{8} \;\;\Longleftrightarrow\;\; n<\frac{1}{8}.$$

Наибольшее целое, удовлетворяющее $n<\frac{1}{8}$, это $n=0$.

Тогда

$$x_{\max<0}=-\frac{\pi}{8}.$$

Проверка максимальности.
Для $n=1$ получаем положительное $x=\frac{7\pi}{8}>0$ — уже не отрицательное.
Для $n=-1$ имеем $x=-\frac{9\pi}{8}$, что меньше чем $-\frac{\pi}{8}$. Значит именно $-\frac{\pi}{8}$ — наибольший отрицательный корень.

Ответ (в): $\displaystyle -\frac{\pi}{8}$.

г) Корни, принадлежащие интервалу $\;(-\pi;\,\frac{\pi}{2})$

Нужно найти все $n\in\mathbb Z$, для которых

$$-\pi\;<\;x_n=-\frac{\pi}{8}+\pi n\;<\;\frac{\pi}{2}.$$

Решим двойное неравенство:

Прибавим $\frac{\pi}{8}$ ко всем частям:

$$-\pi+\frac{\pi}{8}\;<\;\pi n\;<\;\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}.$$

Левая граница: $-\pi+\frac{\pi}{8}=-\frac{8\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=-\frac{7\pi}{8}$.
Правая граница: $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{5\pi}{8}$.

Итак,

$$-\frac{7\pi}{8}\;<\;\pi n\;<\;\frac{5\pi}{8}.$$

Делим на $\pi>0$:

$$-\frac{7}{8}\;<\;n\;<\;\frac{5}{8}.$$

Целые $n$ внутри строгих неравенств: только $n=0$.

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Проверка включённости:
$-\pi<-\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}$ верно: $-\frac{\pi}{8}$ лежит строго внутри интервала, а концы интервала не включаются (он открытый).

Ответ (г): $\displaystyle -\frac{\pi}{8}$.