ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение $$\cos (\frac{\pi }{3}-2x)=\frac{1}{2}$$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$.

Решить уравнение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right) = \frac{1}{2};$$ $$\cos\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$2x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$2x — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Первое значение:

$$2x — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n;$$

Второе значение:

$$2x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

а) Наименьший положительный корень:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n > 0;$$ $$\pi n > -\frac{\pi}{3};$$ $$n > -\frac{1}{3};$$ $$n \geq 0;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$:

$$x_1 = \pi \cdot 0 = 0;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$x_3 = \pi \cdot 1 = \pi;$$ $$x_4 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $0; \frac{\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}$.

в) Наибольший отрицательный корень:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < 0;$$ $$\pi n < -\frac{\pi}{3};$$ $$n < -\frac{1}{3};$$ $$n \leq -1;$$ $$x = \frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) Корни, принадлежащие интервалу $\left( -\pi; \frac{\pi}{2} \right)$:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} — \pi \cdot 1 = -\frac{2\pi}{3};$$ $$x_2 = \pi \cdot 0 = 0;$$ $$x_3 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{3}$.

Решить уравнение

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12.$$

Шаг 1. Удобная запись аргумента косинуса

Косинус — чётная функция: $\cos(-t)=\cos t$. Поэтому

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\cos\!\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Будем решать

$$\cos\!\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Шаг 2. Общая формула решения для $\cos\theta=a$

Пусть $\cos\theta=a$. Тогда все решения имеют вид

$$\theta=\pm\arccos a+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

потому что:

• период косинуса $2\pi$ даёт добавку $2\pi n$;
• чётность косинуса даёт два симметричных по нулю угла $+\arccos a$ и $-\arccos a$;
• формально: из $\cos\alpha=\cos\beta$ следует $\alpha=\pm\beta+2\pi n$.

В нашем случае $a=\tfrac12$, а $\arccos\tfrac12=\tfrac{\pi}{3}$.

Значит,

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Шаг 3. Разбор двух ветвей и нахождение общего решения

Ветвь 1: знак «+»

$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \;\Rightarrow\; 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{3}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ветвь 2: знак «−»

$$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \;\Rightarrow\; 2x=2\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итого, общее решение

$$\boxed{\,x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z\, }$$

(это объединение двух арифметических прогрессий с шагом $\pi$).

Проверка (по желанию):

• Для $x=\pi n$: $\cos(\frac{\pi}{3}-2\pi n)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$.
• Для $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$: $\cos(\frac{\pi}{3}-2(\frac{\pi}{3}+\pi n))=\cos(-\frac{\pi}{3}-2\pi n)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$.

а) Наименьший положительный корень

Кандидаты — из двух семейств:

• $x=\pi n$: ближайший положительный — при $n=1$, $x=\pi$.
• $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=0$ получаем $x=\frac{\pi}{3}$ (он уже положительный).

Сравнение: $\frac{\pi}{3}<\pi$.
Следовательно,

$$\boxed{\,x_{\min>0}=\frac{\pi}{3}\, }.$$

(Формально: $\frac{\pi}{3}+\pi n>0\Rightarrow n>-\frac13\Rightarrow n\ge0\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}$.)

б) Корни на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}\right]$

Семейство $x=\pi n$

Требуем

$$-\frac{\pi}{2}\le \pi n \le \frac{3\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; -\frac12\le n\le \frac32 \;\Longrightarrow\; n\in\{0,1\}.$$

Отсюда $x=0,\;\pi$.

Семейство $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$

Требуем

$$-\frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+\pi n \le \frac{3\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; -\frac12\le \frac13+n \le \frac32$$ $$\Longleftrightarrow\; -\frac12-\frac13\le n \le \frac32-\frac13 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{5}{6}\le n \le \frac{7}{6} \;\Longrightarrow\; n\in\{0,1\}.$$

Отсюда $x=\frac{\pi}{3},\;\frac{4\pi}{3}$.

Итак,

$$\boxed{\,x\in\left\{0,\;\frac{\pi}{3},\;\pi,\;\frac{4\pi}{3}\right\}\, }.$$

в) Наибольший отрицательный корень

Семейство $x=\pi n$

Отрицательные при $n\le -1$. Наибольший (ближайший к нулю) — $n=-1$: $x=-\pi$.

Семейство $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$

Условие отрицательности:

$$\frac{\pi}{3}+\pi n<0 \;\Longleftrightarrow\; \frac13+n<0 \;\Longleftrightarrow\; n<-\frac13 \;\Rightarrow\; n\le -1.$$

При $n=-1$: $x=\frac{\pi}{3}-\pi=-\frac{2\pi}{3}$.
Сравниваем: $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\pi$; больший (по величине, ближе к нулю) — $-\frac{2\pi}{3}$.

Значит,

$$\boxed{\,x_{\max<0}=-\frac{2\pi}{3}\, }.$$

г) Корни на интервале $\left(-\pi,\,\frac{\pi}{2}\right)$

Семейство $x=\pi n$

$$-\pi<\pi n<\frac{\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; -1<n<\frac12 \;\Longrightarrow\; n=0.$$

Отсюда $x=0$.

Семейство $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$

$$-\pi<\frac{\pi}{3}+\pi n<\frac{\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; -1<\frac13+n<\frac12 \;\Longleftrightarrow\; -1-\frac13<n<\frac12-\frac13$$ $$\Longleftrightarrow\; -\frac{4}{3}<n<\frac{1}{6} \;\Longrightarrow\; n\in\{-1,0\}.$$

Получаем $x=-\frac{2\pi}{3}$ (при $n=-1$) и $x=\frac{\pi}{3}$ (при $n=0$).

Итак,

$$\boxed{\,x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},\;0,\;\frac{\pi}{3}\right\}\, }.$$