ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin\left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

г) $\mathrm{ctg}(-\frac{x}{2})=1$

Решить уравнение:

а)

$$\sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$-\sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 3 \cdot \left((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n\right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

Ответ:

$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

б)

$$\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$2x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

Ответ:

$$\pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

в)

$$\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$-\tg 4x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\tg 4x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$4x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\pi}{6} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

г)

$$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right) = 1;$$ $$-\ctg \frac{x}{2} = 1;$$ $$\ctg \frac{x}{2} = -1;$$ $$\frac{x}{2} = \pi — \arcctg 1 + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

а) $\sin\left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем нечетность синуса:

$$\sin(-\theta) = -\sin(\theta),$$

поэтому:

$$\sin\left(-\frac{x}{3}\right) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right).$$

Подставим:

$$-\sin\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Домножим обе части уравнения на $-1$:

$$\sin\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Общий вид решения уравнения $\sin\theta = a$:

$$\theta = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n.$$

Используем свойство:

$$\arcsin(-a) = -\arcsin a,$$

получаем:

$$\frac{x}{3} = (-1)^n \cdot (-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n.$$

Так как $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, то:

$$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Умножим обе части на 3:

$$x = 3 \cdot \left((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n\right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

б) $\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем чётность косинуса:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta),$$

поэтому:

$$\cos(-2x) = \cos(2x).$$

Подставим:

$$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решаем уравнение $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в 2-й и 3-й четвертях.

Основное значение $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, тогда:

$$\theta = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}, \quad \text{и} \quad \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$$

Тогда общее решение:

$$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

в) $\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Используем нечетность тангенса:

$$\tg(-\theta) = -\tg(\theta),$$

поэтому:

$$\tg(-4x) = -\tg(4x).$$

Подставим:

$$-\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Домножим обе части на $-1$:

$$\tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Решим уравнение $\tg\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:

Основное значение $\arctg\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, тогда:

$$\tg\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Значит:

$$4x = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\pi}{6} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

г) $\ctg\left(-\frac{x}{2}\right) = 1$

Используем нечетность котангенса:

$$\ctg(-\theta) = -\ctg(\theta),$$

поэтому:

$$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right) = -\ctg\left(\frac{x}{2}\right).$$

Подставим:

$$-\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = 1.$$

Домножим обе части на $-1$:

$$\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = -1.$$

Решим уравнение $\ctg\theta = -1$:

Основное значение $\arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, но поскольку $\ctg \theta = -1$, ищем такое $\theta$, что:

$$\ctg \theta = -\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \theta = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Общее решение:

$$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$