ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$${\sin }^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x-{\cos }^2\frac{3x}{4}+1$$

б)

$${\cos }^{2}2x-1-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}-{\sin }^{2}2x$$

а)

$$\sin^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \cos^2 \frac{3x}{4} + 1;$$ $$\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x;$$ $$1 — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x;$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ:

$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

б)

$$\cos^2 2x — 1 — \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin^2 2x;$$ $$\cos^2 2x + \sin^2 2x — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x;$$ $$1 — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x;$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

а)

Уравнение

$$\sin^2\!\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x-\cos^2\!\frac{3x}{4}+1.$$

Шаг 1. Перенос слагаемых (эквивалентные преобразования)

Прибавим $\cos^2\!\frac{3x}{4}$ к обеим частям и вычтем $1$ из обеих частей:

$$\bigl(\sin^2\!\tfrac{3x}{4}+\cos^2\!\tfrac{3x}{4}\bigr)-1-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x.$$

Это эквивалентно исходному, т.к. мы к обеим частям прибавляли/вычитали одни и те же числа; область определения не сужалась.

Шаг 2. Тождество Пифагора

Используем тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (верно для любого $\alpha$):

$$1-1-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x \quad\Longrightarrow\quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 3. Решение простого тригонометрического уравнения

$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ означает, что $x$ — углы с синусом $-\frac{\sqrt2}{2}$. Опорный угол $\frac{\pi}{4}$, синус отрицателен в III и IV четвертях:

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Эквивалентная «компактная» запись через формулу общего решения для $\sin x=a$:

$$x=(-1)^{n}\arcsin\! \left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)+\pi n =(-1)^{n}\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)+\pi n =(-1)^{\,n+1}\tfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Легко проверить, что обе записи дают те же углы.

Проверка корректности преобразований

Мы лишь переносили слагаемые и применили тождество $\sin^2+\cos^2=1$; деления на переменные выражения не было ⇒ посторонних (построенных) корней не возникло и корни не потеряны.

Ответ:

$$\boxed{\,x=(-1)^{\,n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\,} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\,x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\ \ \text{или}\ \ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.}$$

б)

Уравнение

$$\cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt3}{2}-\sin^2 2x.$$

Шаг 1. Перенос слагаемых (эквивалентные преобразования)

Прибавим $\sin^2 2x$ к обеим частям и перенесём $\frac{\sqrt3}{2}$ влево:

$$\cos^2 2x+\sin^2 2x-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x.$$

Это эквивалентно исходному по тем же причинам (прибавляли/вычитали одинаковые выражения).

Шаг 2. Тождество Пифагора

$$\cos^2 2x+\sin^2 2x=1 \quad\Longrightarrow\quad 1-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x \quad\Longrightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Шаг 3. Решение простого тригонометрического уравнения

$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$ ⇒ опорный угол $\frac{\pi}{6}$, косинус отрицателен в II и III четвертях:

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Эквивалентная «симметричная» запись:

$$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

потому что $-\frac{5\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}-2\pi$.

Проверка корректности преобразований

Опять же, только перенос слагаемых и применение тождества $\sin^2+\cos^2=1$; никаких операций, способных породить или потерять корни (типа умножения на выражение, могущие обнулиться, или возведения в степень), не выполнялось.

Ответ:

$$\boxed{\,x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\,} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\,x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ \ \text{или}\ \ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.}$$