ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\mathrm{}$$2{\cos }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0$;

б) $\mathrm{}$$4{\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})-3=0$;

в) $\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^{2}3x-3\mathrm{tg}3x=0$;

г) $$$4{\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})-1=0$

Решить уравнение:

а) $\mathrm{}$$2{\cos }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0$;

$\cos \frac{x}{2}\cdot (2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3})=0$;

Первое уравнение:
$\cos \frac{x}{2}=0$;
$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n$;
$x=\pi +2\pi n$;

Второе уравнение:
$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$;
$\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\frac{x}{2}=\pm (\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n$;
$\frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n$;
$x=\pm \frac{5\pi }{3}+4\pi n$;

Ответ: $$$\pi +2\pi n;\pm \frac{5\pi }{3}+4\pi n$.

б) $\mathrm{}$$4{\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})-3=0$;

${\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})=\frac{3}{4}$;
$\cos (x-\frac{\pi }{6})=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x-\frac{\pi }{6}=\pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n$;
$x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$;

Первое значение:
$x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+\pi n$;
$x=\pi n$;

Второе значение:
$x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\pi n$;
$x=\frac{\pi }{3}+\pi n$;

Ответ: $$$\pi n;\frac{\pi }{3}+\pi n$.

в) $\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^{2}3x-3\mathrm{tg}3x=0$;

$\mathrm{tg}3x\cdot (\sqrt{3}\mathrm{tg}3x-3)=0$;

Первое уравнение:
$\mathrm{tg}3x=0$;
$3x=\mathrm{arctg}0+\pi n=\pi n$;
$x=\frac{\pi n}{3}$;

Второе уравнение:
$\sqrt{3}\mathrm{tg}3x-3=0$;
$\sqrt{3}\mathrm{tg}3x=3$;
$\mathrm{tg}3x=\sqrt{3}$;
$3x=\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n$;
$x=\frac{\pi }{9}+\frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $$$\frac{\pi n}{3};\frac{\pi }{9}+\frac{\pi n}{3}$.

г) $$$4{\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})-1=0$;

${\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})=\frac{1}{4}$;
$\sin (2x+\frac{\pi }{3})=\pm \frac{1}{2}$;
$2x+\frac{\pi }{3}=\pm \arcsin \frac{1}{2}+\pi n$;
$2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$;

Первое значение:
$2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+\pi n$;
$2x=-\frac{\pi }{2}+\pi n$;
$x=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$;

Второе значение:
$2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\pi n$;
$2x=-\frac{\pi }{6}+\pi n$;
$x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $$$-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$.

а)

Уравнение:

$$2{\cos }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0$$

Шаг 1. Замена: выделим общий множитель

Перепишем уравнение:

$$\underset{\text{1-й член}}{\underbrace{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}+\underset{\text{2-й член}}{\underbrace{\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}}}=0$$

Вынесем $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$$\cos \frac{x}{2}(2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3})=0$$

Шаг 2. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1-й случай:

$$\cos \frac{x}{2}=0\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n(n\in \mathbb{Z})\Rightarrow x=\pi +2\pi n$$

2-й случай:

$$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значения косинуса равного $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигаются в точках:

$$\frac{x}{2}=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$

и

$$\frac{x}{2}=-(\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$

Умножим обе части на 2:

$$x=\pm \frac{5\pi }{3}+4\pi n$$

Ответ:

$$x=\pi +2\pi n;\pm \frac{5\pi }{3}+4\pi n$$

б)

Уравнение:

$$4{\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})-3=0$$

Шаг 1. Перенос и деление

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$4{\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})=3\Rightarrow {\cos }^2(x-\frac{\pi }{6})=\frac{3}{4}$$

Шаг 2. Извлекаем корень

$$\cos (x-\frac{\pi }{6})=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Решаем уравнение для косинуса

Решим два случая:

1. $\cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$x-\frac{\pi }{6}=\pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$$

2. $\cos (x-\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$x-\frac{\pi }{6}=\pi \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n=\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}+2\pi n$$

Однако в решении используются только первые два корня:

$$x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Шаг 4. Найдём x

Первый случай:

$$x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+\pi n\Rightarrow x=\pi n$$

Второй случай:

$$x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+\pi n$$

Ответ:

$$x=\pi n;\frac{\pi }{3}+\pi n$$

в)

Уравнение:

$$\sqrt{3}t{g}^{2}3x-3tg3x=0$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель

$$tg3x\cdot (\sqrt{3}tg3x-3)=0$$

Шаг 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю

1-й случай:

$$tg3x=0\Rightarrow 3x=\mathrm{arctg}0+\pi n=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}$$

2-й случай:

$$\sqrt{3}tg3x=3\Rightarrow tg3x=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow 3x=\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n\Rightarrow$$

$$x=\frac{\pi }{9}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x=\frac{\pi n}{3};\frac{\pi }{9}+\frac{\pi n}{3}$$

г)

Уравнение:

$$4{\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})-1=0$$

Шаг 1. Изолируем квадрат синуса

$$4{\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})=1\Rightarrow {\sin }^2(2x+\frac{\pi }{3})=\frac{1}{4}$$

Шаг 2. Извлекаем корень

$$\sin (2x+\frac{\pi }{3})=\pm \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Найдём аргумент синуса

Значения, при которых $\sin =\pm \frac{1}{2}$, достигаются при:

$$2x+\frac{\pi }{3}=\pm \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Шаг 4. Выразим x

Первый случай:

$$2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+\pi n\Rightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Второй случай:

$$2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\pi n\Rightarrow 2x=-\frac{\pi }{6}+\pi n\Rightarrow x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$$